Ejercicios resueltos de la parábola.

Ejercicio 1.

Obtén la ecuación reducida de la parábola 8 y² – 16 x = 0. Determina las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.

Solución:

Dividimos la ecuación dada por 8:

Simplificamos:

y² – 2 x = 0

De esta forma, deducimos que la ecuación reducida es:

y² = 2 x

Se observa que 2 p = 2, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 1. Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).

El foco, situado en el eje de abscisas, es el punto:

Y la directriz es la recta vertical de ecuación:

Ejercicio 2.

Obtén la ecuación reducida de la parábola 12 x² = - 36 y. Determina las coordenadas del foco y del vértice, y la ecuación de su recta directriz.

Solución:

Dividimos la ecuación dada por 12:

Simplificamos y obtenemos la ecuación reducida:

x² = - 3 y

Se observa que 2 p = 3, por lo que se tiene que el parámetro de la parábola es p = 3/2. Además, por la forma de la ecuación, se ve que el vértice es V (0, 0).

El foco, situado en el eje de ordenadas, es el punto:

Y la directriz es la recta horizontal de ecuación:

Ejercicio 3.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (0, 7) y cuya recta directriz es y = - 7.

Solución:

El foco está en el eje de ordenadas y la distancia de dicho foco al origen de coordenadas es la misma que la de la recta directriz al origen de coordenadas.

Por tanto, el vértice de la parábola es el C (0, 0) y, al ser la directriz una recta horizontal, se deduce que la ecuación de la parábola es de la forma x² = 2 p y.

Ya que la distancia entre el foco y la directriz es 14, se tiene que p = 14 y la ecuación buscada es x² = 28 y.

Ejercicio 4.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (7, 0).

Solución:

El foco y el vértice están el eje de abscisas. La distancia entre ellos es 4, de donde p/2 = 4, y p = 8.

De esta forma, la ecuación es de la forma:

(y – 0)² = 2 p (x – 7)

y² = 16 (x – 7)

Ejercicio 5.

Obtén la ecuación de la parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuyo vértice es V (-7, 0).

Solución:

Ya que la distancia entre el vértice y el foco es 10, sabemos que p/2 = 10, de donde p = 20.

Además, el foco y el vértice se encuentran en el eje de abscisas y el foco está a la derecha del vértice. De esta forma, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:

(y – b)² = 2 p (x – a), con V(a, b)

Por tanto, la ecuación buscada es:

(y – 0)² = 40 (x + 7)

y² = 40 (x + 7)

Ejercicio 6.

Determina la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta y = - 6 y cuyo foco es F (0, 6).

Solución:

Ya que la distancia entre la directriz y el foco es 12, se tiene que     p = 12. Además, el vértice es el punto V (0, 0).

Como la directriz es horizontal y está por debajo del foco, la ecuación de la parábola es de la forma:

x² = 2 p y

Luego la ecuación buscada es: x² = 24 y

Ejercicio 7.

Calcula el vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola x² – 2 x - 6 y = 5.

Solución:

Como en la ecuación aparece x y x², vamos a completar el cuadrado de un binomio en el que aparezca x:

Al aparecer – 2 x, se trata de (x – 1)² y para completarlo en la ecuación faltaría 1². Así pues, sumamos 1 y, para que la ecuación no cambie, restamos 1.

(x² – 2 x + 1) – 1 - 6 y = 5

(x – 1)² – 1 - 6 y = 5

(x – 1)² = 5 + 1 + 6y

(x – 1)² = 6 + 6y

(x – 1)² =  6 (y + 1)

Por tanto, el vértice es el punto V (1, - 1).

Como 2 p = 6, resulta que p = 3 y p/2 = 3/2.

De esta forma, la directriz es la recta horizontal cuya ecuación es:

Y el foco es el punto cuyas coordenadas son:

Ejercicio 8.

Halla la ecuación de la parábola de directriz x = 4 y cuyo foco es el punto F (- 2, 0).

Solución:

La distancia entre la directriz y el foco es 6, por lo que se tiene que   p = 6 y p/2 = 3. Como la directriz es vertical, el eje de simetría es horizontal y, como la directriz está a la derecha del foco, el vértice es el punto cuyas coordenadas son:

V (- 2 + 3, 0) = V (1,0)

De esta forma, la ecuación de la parábola es de la forma siguiente:

(y – b)² = - 2 p (x – a), con V(a, b)

(y – 0)² = - 12 (x – 1)

y² = - 12 (x – 1)

Ejercicio 9.

Halla la ecuación de las siguientes parábolas:

a)Vértice V (0, 0), directriz horizontal y la parábola pasa por el punto de coordenadas(5, - 4).

b)Vértice V (0, 0), directriz vertical y la parábola pasa por el punto de coordenadas(- 2, 4).

Solución:

a)Al ser la directriz horizontal y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la forma x² = 2 p y o de la forma x² = - 2 p y.

Como la parábola pasa por el punto (5, - 4),que queda por debajo del eje de abscisas, resulta que la ecuación es de la forma x² = - 2 p y.

Al cumplir dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:

25 = - 2 p (- 4)

25 = 8 p

P = 25/8

Luego la ecuación de la parábola es:

x² = - 2 (25/8) y

x² = - (25/4) y

b)Al ser la directriz vertical y el vértice V (0, 0), la ecuación de la parábola es de la forma y² = 2 p x o de la forma y² = - 2 p x.

Como la parábola pasa por el punto (- 2, 4),que queda a la izquierda del eje de ordenadas, la ecuación es de la forma y² = - 2 p x.

Al cumplir dicho punto la ecuación de la parábola se cumple que:

16 = - 2 p (- 2)

16 = 4 p

P = 4

Luego la ecuación de la parábola es:

y² = - 2 · 4 y

y² = - 8 y

Ejercicio 10.

Dada la ecuación x² + 6 x + k y = 0, ¿para qué valor de k corresponde a una parábola cuyo vértice pertenece a la recta y = 6?

Solución:

Hacemos el ajuste de cuadrados ya que aparecen x y x² en la ecuación:

x² + 6 x + 9 – 9 + k y = 0

(x + 3)² = 9 – k y

(x + 3)² = - (k y – 9)

(x + 3)² = - k (y – 9/k)

Si el vértice pertenece a la recta y = 6 debe cumplirse que 9/k = 6. Luego:

9/k =6

6 k = 9

K = 9/6 = 3/2

Ejercicios resueltos de la hipérbola.

Ejercicio 1.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

Solución:

Se observa que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas y que los focos están en el eje de ordenadas.

Además, a² = 144 y b² = 25, por lo que se deduce que a = 12 y b = 5.

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 144 + 25 = 169. Luego, obtenemos que c = 13.

Como conclusión, los focos son F (0, 13) y F´(0, - 13). Los vértices son A (0, 12) y A´(0, - 12).

Por último, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 2.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

Solución:

Se observa que el centro de la hipérbola es C (1, 0) y que los focos están en un eje paralelo al eje de abscisas.

Además, a² = 3 y b² = 4, por lo que se deduce que:

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 3 + 4 = 7. Luego, obtenemos que:

Como conclusión, los focos son:

Y los vértices son:

Para terminar, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 3.

Calcula los focos, los vértices y la excentricidad de la hipérbola siguiente:

4 x² – 6 y² = 60

Solución:

Dividimos los dos miembros de la ecuación por 60 para obtener la ecuación reducida de la hipérbola:

Se observa que la hipérbola está centrada en el origen de coordenadas y que los focos están en el eje de abscisas.

Además, a² = 15 y b² = 10, por lo que se deduce que:

Como c² = a² + b², se tiene que c² = 15 + 10 = 25. De esta forma, obtenemos que c = 5.

Como conclusión, los focos son F (5, 0) y F´(- 5, 0). Y los vértices son:

Por último, la excentricidad de la hipérbola es:

Ejercicio 4.

Determina la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son los puntos F (8, 0) y F´(- 8, 0), y en la que A (5, 0) es un vértice.

Solución:

Al observar las coordenadas de los focos se deduce que están en el eje de abscisas y que el centro de la hipérbola es C (0, 0), por lo que la ecuación de esta será de la forma:

La distancia entre los focos es 16 y entonces c = 8.

Además, al ser A (5, 0) uno de sus vértices, se tiene que a = 5.

Al de una hipérbola, ha de cumplirse la condición  c² = a² + b², por lo que:

8² = 5² + b²

64 = 25 + b²

b² = 64 -25 = 39

Como conclusión, la ecuación que buscamos es:

Ejercicio 5.

Dada la cónica cuya ecuación es la siguiente, identifícala y encuentra sus elementos característicos:

y² – 9 x² = 9

Solución:

Dividimos por 9 los dos miembros de la ecuación para obtener su ecuación reducida:

Simplificando, obtenemos que:

Se observa que se trata de una hipérbola cuyo centro es C (0, 0) y cuyos focos están en el eje de ordenadas.

Como a² = 9, obtenemos que a = 3 y entonces, los vértices son los puntos A (0, 3) y A´(0, - 3).

Se observa que b² = 1, lo que nos permite calcular el valor de c:

Por tanto, los focos son los puntos:

La excentricidad de esta hipérbola es:

Ejercicio 6.

Encuentra la ecuación general de la hipérbola cuyo centro es C (0, 0), que pasa por el punto P (8, 14) y sabiendo que uno de sus vértices es el punto A (6, 0).

Solución:

De las coordenadas del vértice se deduce que los focos están en el eje de abscisas y que el semieje real es a = 6.

Por tanto, la ecuación que buscamos es de la forma:

Como la curva pasa por el punto P, este ha de cumplir su ecuación. Luego:

Multiplicamos los dos miembros por 9 b² para quitar denominadores:

16 b² – 1764 = 9 b²

7 b² = 1764

b² = 252

Por tanto, la ecuación reducida de la hipérbola es:

El mínimo común múltiplo de 36 y 252 es 252. Utilizamos esto para quitar los denominadores (multiplicamos por 252 los dos miembros de la ecuación):

7 x² – y² = 252

Y la ecuación general de la hipérbola es:

7 x² – y² – 252 = 0

Ejercicio 7.

Halla la ecuación de una hipérbola de centro el origen de coordenadas, cuyos focos están sobre el eje de abscisas y sabiendo que las distancias de uno de los focos a los vértices son 2 y 10.

Solución:

Con los datos del problema se deduce que la ecuación es de la forma:

De las distancias conocidas, podemos deducir que:

2 a = 10 – 2 = 8

a = 4

c = 4 + 2 = 6

Por tanto, como debe cumplirse que c² = a² + b², resulta que:

6² = 4² + b²

b² = 36 – 16 = 20

Así, la ecuación buscada es:

Ejercicio 8.

Halla la ecuación general de una hipérbola equilátera de centro el origen de coordenadas, sabiendo que la curva pasa por el punto P (8, - 2).

Solución:

Al ser equilátera, su ecuación es de la forma:

El punto P debe cumplir esta ecuación, por lo cual:

Luego la ecuación buscada es:

Si multiplicamos por 60 los dos miembros de la ecuación anterior se tiene que x² – y² = 60, de donde se deduce la ecuación general buscada:

x² – y² – 60 = 0

Ejercicio 9.

Estudia la posición relativa de la recta x + y = 1 y la hipérbola de ecuación x² – 2 y² – 1 = 0.

Solución:

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la hipérbola:

Para ello, despejamos la incógnita x de la primera ecuación y la sustituimos en la segunda:

(1 – y)² – 2 y² – 1 = 0

1 + y² – 2 y – 2 y² – 1 = 0

-   y² – 2 y = 0

-   y (y + 2) = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones:

y = 0       y = - 2

Si y = 0, entonces x = 1.

Si y = - 2, entonces x = 3.

Por tanto, la recta y la hipérbola son secantes ya que se cortan en los puntos P (1, 0) y Q (3, - 2).