Continuidad de funciones.

Teoría.

Ejercicios resueltos.

Ejercicios resueltos de continuidad de funciones.

Ejercicio 1.

Indica en qué puntos son continuas las funciones siguientes:

Solución:

a) Por ser una función polinómica, es continua en el conjunto R de todos los números reales.

b) Al tratarse de una función polinómica, es continua en el conjunto R de todos los números reales.

c) Por ser el cociente de dos polinomios, es continua en el conjunto R de todos los números reales excepto en los que anulan el denominador.

Si 3 x – 9 = 0, resulta que x = 3.

Luego la función es continua en R – {3}.

d) Al tratarse del cociente de dos polinomios, es continua en el conjunto R de todos los números reales excepto en los que anulan el denominador.

Así, tenemos que x² + 3 x – 4 = 0, y resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Las dos soluciones son x = 1 y x = - 4.

Luego la función es continua en R – {- 4, 1}.

e) Al haber una raíz cuadrada en el denominador, la función será continua en todo su dominio. Es decir, en los valores de x para los que se cumple que 2 x – 1 > 0.

Luego se tiene que x > 1/2.

Como conclusión, la función es continua en todos los puntos del intervalo (1/2, + ∞).

Ejercicio 2.

Estudia la continuidad en x = 1 de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales salvo x = 1 ya que en dicho punto se anula el denominador. Por tanto, f(x) no es continua en x = 1.

Para ver el tipo de discontinuidad, calculamos el límite de la función en el punto:

Resolvemos la indeterminación obtenida:

Como x = 1 no pertenece al dominio de f(x) pero existe el límite de f(x) en x = 1 y es finito, la discontinuidad en el punto x = 1 es una discontinuidad evitable.

Ejercicio 3.

Redefine la función del ejercicio anterior de forma que sea continua en el conjunto de todos los números reales.

Solución:

Ya que el límite de la función cuando x tiende a 1 toma el valor l, la función f(x) es continua en todo R si la definimos de la forma siguiente:

Ejercicio 4.

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución:

En (-∞,3) y en (3,+∞) la función es continua por tratarse de funciones polinómicas de primer grado (rectas) en dichos intervalos.

Para que f(x) sea continua en el conjunto de todos los números reales, que es su dominio, ha de serlo en x = 3, punto en el que se cortan los dos trozos que forman el dominio.

Veamos si se cumplen las condiciones de continuidad en el punto x = 3:

1. El  punto x = 3 pertenece al dominio de la función. Además, se tiene que f(3) = 2·3 – 1 = 5.

2. Calculamos los límites laterales en x = 3.

Por tanto, se cumple que:

3. También se cumple la última condición de continuidad ya que:

Como conclusión, f(x) es continua en el conjunto de todos los números reales.

Ejercicio 5.

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución:

En (-∞,0) la función es continua por ser una función polinómica de segundo grado (una parábola)y en (0, +∞) es continua por ser una función polinómica de primer grado (una recta).

Para que f(x) sea continua en el conjunto de todos los números reales, que es su dominio, ha de serlo en x = 0.

Veamos si se cumplen las condiciones de continuidad en el punto x = 0:

1. El  punto x = 0 pertenece al dominio de la función. Además, se tiene que f(0) = 0 – 3 = - 3.

2. Calculamos los límites laterales en x = 0.

Como los laterales no coinciden, no existe el límite cuando x tiende a cero de f(x). Por esto, f(x) no es continua en el punto x = 0.

Como conclusión, f(x) es continua en R – {0}.

Además, en x = 0 presenta una discontinuidad de primera especie de salto finito (el salto es 4, que es la distancia entre los límites laterales).

Ejercicio 6.

Estudia la continuidad en x = 0 de la siguiente función:

Solución:

Veamos si se cumplen las condiciones de continuidad en el punto x = 0.

1. El punto x = 0 pertenece al dominio de la función (que es R) y además se tiene que f(0) = 2·0 – 1 = -1.

2. Calculamos los límites laterales:

Como los límites laterales no coinciden podemos afirmar que f(x) no es continua en x = 0.

En este punto la función presenta una discontinuidad de primera especie de salto infinito.

Ejercicio 7.

Estudia la continuidad de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función es el intervalo (1, 8). En los puntos de dicho intervalo, distintos de 3 y 5, la función es continua por ser funciones polinómicas de grado 2 (parábola)  y de grado 1 (rectas).

Veamos si la función es continua en x = 3.

1. El  punto x = 3 pertenece al dominio de la función. Además, se tiene que f(3) = 3² = 9.

2. Calculamos los límites laterales en x = 3.

Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua en x = 3. Además, en este punto la discontinuidad es de primera especie de salto finito (el salto es 2).

Veamos ahora si la función es continua en x = 5.

1. El  punto x = 5 pertenece al dominio de la función. Además, se tiene que f(5) = 3·5 – 4 = 11.

2. Calculamos los límites laterales en x = 5.

Por tanto, se cumple que:

3. También se cumple la última condición de continuidad ya que:

Por tanto, la función es continua en x = 5.

Como conclusión, f(x) es continua en (1, 8) – {3}.

Ejercicio 8.

Calcula el valor o valores de a para que la siguiente función sea continua:

Solución:

En (- ∞,2) la función es continua por ser una recta y, por el mismo motivo, es continua en (2, +∞).

Para que la función sea continua en su dominio, que es el conjunto de todos los números reales, ha de serlo en x = 2.

Para que esto ocurra, como f(2) = 2 + 2 = 4, debe cumplirse que el límite de la función en x = 2 también valga 4. Y para ello, han de valer 4 los dos límites laterales en dicho punto.

Por tanto, ha de cumplirse que a² – 12 = 4. Es decir, que a² = 16.

Luego la función es continua si a = 4 o a = - 4.

Ejercicio 9.

Calcula los valores de a y b para que sea continua la siguiente función:

Solución:

En (- ∞, 0) la función es continua por tratarse de una parábola.

En (0, 1) la función es continua por tratarse de una recta.

En (1, + ∞) la función es continua por ser constante (una recta horizontal).

Para que la función sea continua en su dominio, que es el conjunto de todos los números reales, ha de serlo en x = 0 y en x = 1.

Calculamos las imágenes de estos puntos:

f(0) = a·0 + b = b

f(1) = 4

Por tanto, el límite de la función en x = 0 ha de ser b y el límite de la función en x = 1 ha de ser 4.

De esta forma, concluimos que b = - 1.

De esta forma, tenemos que a – 1 = 4; es decir, que a = 5.

Ejercicio 10.

Calcula los valores de a y b para los que es continua la siguiente función:

Solución:

En (- ∞, - 1) la función es continua por ser constante.

En (- 1, 2) la función es continua por ser polinómica (de grado 3).

En (2, + ∞) la función es continua por ser polinómica de grado 1 (una recta).

Para ser continua en R debe serlo también en x = - 1 y x = 2.

Para que sea continua en x = - 1, teniendo en cuenta que f(- 1) = 0, los límites laterales en dicho punto deben valer 0.

Por tanto, se deduce que – a – b = 0, es decir que a = - b.

Para que sea continua en x = 2, y teniendo en cuenta que el valor de la función en x = 2 es f(2) = 22 – 16 = 6, los límites laterales en dicho punto deben valer 6.

Así tenemos que:

a = - b

8 a + 2 b = 6

Sustituyendo a por – b en la segunda ecuación, se deduce que:

-8 b + 2 b = 6

- 6 b = 6

b = - 1

Y, por tanto, a = 1.

Continuidad de una función.

Continuidad de una función.

Una función f(x) es continua en x = x₀ si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. El punto x = x₀ pertenece al dominio de la función; es decir, que existe f (x₀).

2. Existe el límite cuando x tiende a x₀ de la función:

3. El valor del límite mencionado coincide con la imagen de x₀ mediante la función:

Tipos de discontinuidades.

Podemos encontrar tres tipos de discontinuidades de una función f(x) en un punto x₀:

1. Discontinuidad evitable: cuando existe el límite de la función en x₀ y es finito pero, o bien x₀ no pertenece al dominio de la función, o bien la imagen f(x₀) no coincide con el valor del límite en dicho punto x₀.

2. Discontinuidad de primera especie: pueden distinguirse dos tipos de discontinuidades de primera especie.

a) Discontinuidad de salto: cuando existen los límites laterales de f(x) en x₀ pero no coinciden sus valores.

Se llama salto al valor absoluto de la diferencia de los valores de los límites laterales y, por tanto, la discontinuidad podrá ser de salto finito o de salto infinito. Será de salto finito cuando los límites laterales sean ambos finitos, y será de salto infinito cuando al menos uno de los límites laterales sea infinito.

b) Discontinuidad infinita: cuando los límites laterales de f(x) en x₀ son ambos infinitos del mismo signo.

3. Discontinuidad de segunda especie: cuando no existe alguno de los límites laterales de la función en x₀.

Operaciones con funciones continuas.

Si f(x) y g(x) son continuas en un punto x = a, entonces:

1. La función suma de ambas, (f + g))(x), también es continua en x = a.

2. La función diferencia de ambas, (f - g))(x), también es continua en el punto x = a.

3. La función producto de ambas, (f · g))(x), también es continua en el punto x = a.

4. La función cociente de ambas, (f / g))(x), también es continua en  el punto x = a, excepto cuando el denominador se anula en dicho punto, es decir si g(a) = 0.

Además, si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición (g ͦ f)(x) también es continua en a.

Continuidad en funciones elementales.

1. Las funciones polinómicas son continuas en el conjunto de todos los números reales.

2. Las funciones racionales (cocientes de dos polinómicas) son continuas en el conjunto de todos los números reales excepto en aquellos en los que se anula el denominador.

3. Las funciones exponenciales, potenciales y logarítmicas son continuas en todos los puntos de sus dominios de definición.

4. Dentro de las funciones trigonométricas, son continuas en el conjunto de todos los números reales las funciones sen(x) y cos(x). La función tg(x), que se define como el cociente  sen(x)/cos(x) es discontinua en todos los puntos en los que cos(x) = 0, es decir en los valores que son múltiplos impares de π/2.

Ejercicios resueltos de límites de funciones (parte II)

Para resolver los límites de funciones que se proponen en los ejercicios que se muestran a continuación, utilizaremos el siguiente método práctico:

Ejercicio 1.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Sustituyendo x por ∞, resulta una indeterminación de la forma 1^∞.

Aplicando el método expuesto, resulta que:

Calculamos por separado el límite del exponente:

Calculado el límite del exponente, podemos concluir que:

Ejercicio 2.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Sustituyendo x por 3, resulta una indeterminación de la forma 1^∞.

Aplicando el método expuesto, resulta que:

Calculamos por separado el límite del exponente:

Calculado el límite del exponente, podemos concluir que:

Ejercicio 3.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente por separado:

Ya podemos concluir que:

Ejercicio 4.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente:

Ya podemos concluir que:

Ejercicio 5.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente:

Ya podemos concluir que:

Ejercicio 6.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente:

Podemos concluir que:

Ejercicio 7.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente:

Se obtiene una indeterminación del tipo ∞/∞. Resolvemos dicha indeterminación:

Como el límite del exponente es 0, podemos concluir que:

Ejercicio 8.

Calcula el siguiente límite:

Solución:

Se obtiene una indeterminación del tipo 1^∞.

Aplicando el método mencionado anteriormente, se tiene:

Calculamos el límite del exponente:

Se obtiene una indeterminación del tipo ∞/∞. Resolvemos dicha indeterminación:

Como el límite del exponente es – 5/2, podemos concluir que: