Ejercicio de representación gráfica de una función (racional 2).

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

Solución:

Dominio: al tratarse de una función racional, su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

x² – 4 = 0

x = 2 y x = - 2

Por tanto, Dom f = R – {- 2,2}.

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = - 1/4 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, - 1/4).

Si f(x) = 0, resulta que la ecuación obtenida no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no corta al eje de abscisas.

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta que no hay puntos de corte con el eje de abscisas, obtenemos los intervalos con los puntos que no pertenecen al dominio. Es decir:

(- ∞, - 2), (- 2, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(- 3) = 1/5 > 0, f(0) = - 1/4 < 0 y f(3) = 1/5 > 0

Así, f(x)> 0 en (- ∞, - 2)U(2, + ∞) y f(x)< 0 en (- 2, 2).

Simetrías:

Así, f(- x)= f(x) por lo que la función es par.

Asíntotas:

Como el  dominio es R – {- 2, 2}, vemos la existencia de asíntotas verticales:

Por tanto, las rectas x = - 2 y x = 2 son asíntotas verticales de la función.

Estudiamos ahora la existencia de asíntotas horizontales:

Así, la recta y = 0 es asíntota horizontal.

No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal.

Intervalos de monotonía:

Si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación que se obtiene tiene como solución x = 0.

Así se obtienen los intervalos que determinan los valores de x que no pertenecen al dominio y x = 0. Es decir:

(- ∞,- 2), (- 2, 0), (0, 2) y (2, +∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

f´(- 3) = 6/25 > 0

f´(- 1) = 2/9 > 0

f´(1) = - 2/9 < 0

f´(3) = - 6/25 < 0

De esta forma:

f(x) es estrictamente creciente en (- ∞,- 2)U(- 2, 0).

f(x) es estrictamente decreciente en (0, 2)U(2, + ∞).

Extremos relativos:

Hemos visto en el punto anterior que si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación tiene como solución x = 0.

Calculamos la derivada segunda de la función:

Y calculamos la imagen de x = 0:

f´´(0) = - 8/64 = - 1/8 < 0

Por tanto, en x = 0 se alcanza un máximo relativo.

El máximo relativo es el punto (0, f(0))= (0, - 1/4).

Intervalos de curvatura:

Igualamos a cero la segunda derivada de la función:

Esta ecuación no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no tiene puntos de inflexión. Así, los intervalos de curvatura quedan determinados por los valores de x que no pertenecen al dominio. Es decir:

(-∞, - 2), (- 2, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(-3) = 62/125 >0, f´´(0) = -1/8 <0 y f´´(3) = 62/125 >0

Por tanto:

 f(x) es convexa en (-∞, - 2)U(2, + ∞) y es cóncava en (- 2, 2)

Puntos de inflexión:

Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene puntos de inflexión.

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función: