Ejercicio
1.
Resuelve el triángulo del que se sabe que un ángulo A mide 22o,
su lado opuesto a = 8 cm y otro ángulo B = 79o.
Solución:
Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el
teorema del seno:
Como además conocemos dos ángulos, utilizando que los tres
ángulos de un triángulo cualquiera suman 180o, podemos calcular el
que falta:
C = 180o –
(22o + 79o) = 180o – 101o = 79o
Sustituyendo los datos conocidos tenemos:
Se observa que hay dos ángulos iguales y, por tanto, el
triángulo es isósceles, de forma que los lados opuestos a los ángulos iguales
también son iguales.
Por tanto:
Por tanto:
A
= 22o, B = C = 79o
a
= 8 cm, b = c = 21,22 cm
Ejercicio 2.
Resuelve el triángulo del que se conocen los datos siguientes: A
= 70o, b = 6 dm y c = 5 dm.
Solución:
Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el
teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno con la expresión
correspondiente al coseno de A que es el ángulo conocido.
Sustituimos los datos que tenemos:
Ahora ya conocemos un ángulo y su lado opuesto, y podemos
aplicar el teorema del seno:
Y ahora podemos calcular el ángulo que falta:
C = 180o –
(70o + 62,25o) = 47,75o
Por tanto:
A
= 70o, B = 62,25o, C = 47,75o
a
= 6,37 dm, b = 6 dm, c = 5 dm
Ejercicio 3.
Se quiere vallar una parcela de forma triangular. Un lado mide
40 metros, otro 12 metros y el ángulo comprendido entre ellos mide 60o,
¿Cuántos metros de valla se necesitan?
Solución:
Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el
teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno:
Sustituimos los datos que tenemos:
Como ya conocemos las longitudes de los tres lados podemos
calcular el perímetro de la parcela:
Perímetro = 40 + 12 + 35,55 = 87,55 m
Luego se necesitan 87,55
metros de valla.
Ejercicio 4:
Tres pueblos A, B y C, forman un triángulo. La distancia entre
A y B es de 10 km, la distancia entre A
y C es 6 km y las visuales desde C hasta A y hasta B forman un ángulo de 105o.
¿Cuál es la distancia entre B y C?
Solución:
Con los datos que nos dan en el enunciado, resulta que conocemos los lados c = 10 km, b = 6 km y C = 105o.
Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el
teorema del seno:
Por tanto, A = 180o – (105o + 35,59o)
= 39,41o
Aplicando de nuevo el teorema del seno, se tiene:
Así, la distancia entre B
y C es 6,49 km.
Ejercicio 5.
Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:
cos2 x = 3 +
3 sen x
Solución:
Como sen2 x + cos2 x = 1 para cualquier
ángulo x, despejamos cos2 x:
cos2 x = 1 –
sen2 x
Sustituimos esta expresión en la ecuación dada:
cos2
x = 3 + 3 sen x
1
– sen2 x = 3 + 3 sen x
Reordenamos términos y simplificamos:
0 = - 1 + sen2
x + 3 + 3 sen x
sen2 x + 3
sen x + 2 = 0
Hacemos el cambio de variable sen x = t:
t2 + 3 t + 2
= 0
Resolvemos esta ecuación:
Las dos soluciones de esta ecuación son t1 = - 1 y t2
= - 2.
Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:
sen x
= - 1 o sen x = -2
La opción sen x = - 2 no es posible y, por ello, la única opción
es que sen x = - 1, de donde se deduce que:
x = arc sen (- 1)
x
= 270o + k · 360o
ó x = (3 п/2) + 2 k п
Ejercicio 6:
Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:
2 sen x + 1 = 4 cos 2x
Solución:
Utilizamos que cos 2x = cos2 x – sen2 x, y
sustituimos esta expresión en la ecuación dada:
2
sen x + 1 = 4 cos2 x – 4 sen2 x
Como sen2 x + cos2 x = 1 para cualquier
ángulo x, despejamos cos2 x:
cos2 x = 1 –
sen2 x
Sustituimos esta expresión en la ecuación anterior:
2
sen x + 1 = 4 cos2 x – 4 sen2 x
2
sen x + 1 = 4 - 4 sen2 x – 4 sen2 x
Simplificamos y reordenamos términos:
8 sen2 x + 2
sen x - 3 = 0
Hacemos el cambio de variable sen x = t:
8 t2 + 2 t –
3 = 0
Resolvemos esta ecuación:
Las dos soluciones de esta ecuación son:
t1 = 1/2 y t2
= - 3/4
Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:
sen x
= 1/2 o sen x = - 3/4
Así, las soluciones de la ecuación inicial son:
Ejercicio 7:
Demuestra la identidad trigonométrica siguiente:
Solución:
Ejercicio 8:
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica:
sen
2x · cos x – sen x · cos 2x = sen x
Solución:
sen
2x · cos x – sen x · cos 2x =
=
(2 sen x · cos x) · cos x – sen x · (cos2 x – sen2 x) =
=
2 sen x · cos2 x – sen x · cos2 x + sen3 x =
=
sen x · cos2 x + sen3 x = sen x · (cos2 x +
sen2 x) =
= sen x · 1 = sen x
