Solamente matemáticas

jueves, 26 de diciembre de 2019

Ejercicios resueltos de trigonometría

Ejercicio 1.

Resuelve el triángulo del que se sabe que un ángulo A mide 22^o, su lado opuesto a = 8 cm y otro ángulo B = 79^o.

Solución:

Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el teorema del seno:

Como además conocemos dos ángulos, utilizando que los tres ángulos de un triángulo cualquiera suman 180^o, podemos calcular el que falta:

C = 180^o – (22^o + 79^o) = 180^o – 101^o = 79^o

Sustituyendo los datos conocidos tenemos:

Se observa que hay dos ángulos iguales y, por tanto, el triángulo es isósceles, de forma que los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales.

Por tanto:

A = 22^o, B = C = 79^o

a = 8 cm, b = c = 21,22 cm

Ejercicio 2.

Resuelve el triángulo del que se conocen los datos siguientes: A = 70^o, b = 6 dm y c = 5 dm.

Solución:

Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno con la expresión correspondiente al coseno de A que es el ángulo conocido.

Sustituimos los datos que tenemos:

Ahora ya conocemos un ángulo y su lado opuesto, y podemos aplicar el teorema del seno:

Y ahora podemos calcular el ángulo que falta:

C = 180^o – (70^o + 62,25^o) = 47,75^o

Por tanto:

A = 70^o, B = 62,25^o, C = 47,75^o

a = 6,37 dm, b = 6 dm, c = 5 dm

Ejercicio 3.

Se quiere vallar una parcela de forma triangular. Un lado mide 40 metros, otro 12 metros y el ángulo comprendido entre ellos mide 60^o, ¿Cuántos metros de valla se necesitan?

Solución:

Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno:

Sustituimos los datos que tenemos:

Como ya conocemos las longitudes de los tres lados podemos calcular el perímetro de la parcela:

Perímetro = 40 + 12 + 35,55 = 87,55 m

Luego se necesitan 87,55 metros de valla.

Ejercicio 4:

Tres pueblos A, B y C, forman un triángulo. La distancia entre A y B es de 10 km, la distancia entre A y C es 6 km y las visuales desde C hasta A y hasta B forman un ángulo de 105^o. ¿Cuál es la distancia entre B y C?

Solución:

Con los datos que nos dan en el enunciado, resulta que conocemos los lados c = 10 km, b = 6 km y C = 105^o.

Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el teorema del seno:

Por tanto, A = 180^o – (105^o + 35,59^o) = 39,41^o

Aplicando de nuevo el teorema del seno, se tiene:

Así, la distancia entre B y C es 6,49 km.

Ejercicio 5.

Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:

cos² x = 3 + 3 sen x

Solución:

Como sen² x + cos² x = 1 para cualquier ángulo x, despejamos cos² x:

cos² x = 1 – sen² x

Sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

cos² x = 3 + 3 sen x

1 – sen² x = 3 + 3 sen x

Reordenamos términos y simplificamos:

0 = - 1 + sen² x + 3 + 3 sen x

sen² x + 3 sen x + 2 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

t² + 3 t + 2 = 0

Resolvemos esta ecuación:

Las dos soluciones de esta ecuación son t₁ = - 1 y t₂ = - 2.

Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:

sen x = - 1 o sen x = -2

La opción sen x = - 2 no es posible y, por ello, la única opción es que sen x = - 1, de donde se deduce que:

x = arc sen (- 1)

x = 270^o + k · 360^o ó x = (3 п/2) + 2 k п

Ejercicio 6:

Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:

2 sen x + 1 = 4 cos 2x

Solución:

Utilizamos que cos 2x = cos² x – sen² x, y sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

2 sen x + 1 = 4 cos² x – 4 sen² x

Como sen² x + cos² x = 1 para cualquier ángulo x, despejamos cos² x:

cos² x = 1 – sen² x

Sustituimos esta expresión en la ecuación anterior:

2 sen x + 1 = 4 cos² x – 4 sen² x

2 sen x + 1 = 4 - 4 sen² x – 4 sen² x

Simplificamos y reordenamos términos:

8 sen² x + 2 sen x - 3 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

8 t² + 2 t – 3 = 0

Resolvemos esta ecuación:

Las dos soluciones de esta ecuación son:

t₁ = 1/2 y t₂ = - 3/4

Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:

sen x = 1/2 o sen x = - 3/4

Así, las soluciones de la ecuación inicial son:

Ejercicio 7:

Demuestra la identidad trigonométrica siguiente:

Solución:

Ejercicio 8:

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica:

sen 2x · cos x – sen x · cos 2x = sen x

Solución:

sen 2x · cos x – sen x · cos 2x =

= (2 sen x · cos x) · cos x – sen x · (cos² x – sen² x) =

= 2 sen x · cos² x – sen x · cos² x + sen³ x =

= sen x · cos² x + sen³ x = sen x · (cos² x + sen² x) =

= sen x · 1 = sen x

Trigonometría II

Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Ejercicios y problemas resueltos

viernes, 1 de noviembre de 2019

Acertijos y pasatiempos para noviembre

El 3 de noviembre se celebra el Día Mundial del Sándwich.

Se celebra en esta fecha por coincidir con la del nacimiento del conde inglés John Montagu, al que le gustaba comer sin ensuciarse las manos mientras jugaba a las cartas. Por este motivo comenzó a comer un trozo de carne entre dos rebanadas de pan, de forma que podía jugar con las cartas sin tener que parar a limpiarse los dedos.

El 5 de noviembre se celebra el Día Mundial de Concienciación sobre los Tsunamis.

La celebración de este día fue una idea original de Japón, país que se ha visto expuesto a estos desastres en muchas ocasiones y que tiene experiencia en la alerta temprana de tsunamis y en la reconstrucción posterior a los desastres, para conseguir reducir los impactos futuros. La fecha fue designada por la Asamblea General, invitando a Estados, a organizaciones internacionales y a la sociedad civil a celebrar el día, con el fin de concienciar a la población sobre el gran riesgo que suponen los tsunamis.

El 8 de noviembre se celebra el Día de las Librerías.

Este día se celebra desde 2011 y la fecha fue proclamada por la Confederación Española de Gremios y Asociaciones de Libreros.

Con su celebración se pretende volver a impulsar en España el hábito de la lectura y a las librerías como centros en los cuales promover y enriquecer la cultura.

El 12 de noviembre se celebra el Día Mundial de la Obesidad.

Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), el sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulación excesiva o anormal de grasa y puede ser perjudicial para la salud. Cada 12 de noviembre se celebra este día con el objetivo de informar a la población y sensibilizar de la importancia de adoptar medidas para frenar el continuo aumento de las tasas de sobrepeso y obesidad a nivel mundial.

El 18 de noviembre se celebra el Día Europeo del Uso Prudente de Antibióticos.

El Centro Europeo para la Prevención y Control de Enfermedades proclamó esta fecha para sensibilizar sobre el consumo prudente de los antibióticos y disminuir su consumo innecesario, que no solo afecta a la Medicina sino también a la Veterinaria y la Industria. Su consumo elevado e inadecuado aumenta la resistencia de los microorganismos, sobre todo las bacterias, a los antibióticos, que pierden su eficacia para tratar las infecciones, originando un problema grave de salud pública que afecta a toda la población del planeta.

El 21 de noviembre se celebra el Día Mundial de la Televisión.

Se celebra esta fecha, proclamada por la ONU, desde el año 1996. La ONU invita a los Estados a celebrar este día promoviendo el intercambio de programas centrados en cuestiones como la seguridad, la paz, el desarrollo económico y social y la cultura, aprovechando que la televisión es una herramienta importante de orientación y movilización de la opinión pública.