Problema 4.9.

Se tiene un lapicero cuya longitud total es de 14 centímetros (incluyendo su punta recién afilada).

Se ha observado que, cada vez que se afila el lápiz, éste se acorta una longitud de  cinco milímetros y que, recién afilado, su parte cónica (incluida la mina) tiene una longitud de 15 milímetros.

¿Cuántas veces será necesario afilar este lápiz para que el volumen de su parte cónica coincida con un sexto del volumen de su parte cilíndrica?

Solución:

Utilizamos el siguiente dibujo:

Se observa que el radio de la parte cilíndrica coincide con el de la base de su parte cónica.

Llamando h a la altura de la parte cilíndrica y, teniendo en cuenta el enunciado del problema, podemos plantear la siguiente ecuación:

(p r² · 15) / 3 = (1/6) · p r² · h

Al resolverla, se deduce que h = 30 mm = 3 cm

Del dibujo se deduce que la longitud inicial de la parte cilíndrica es 12,5 cm, por lo que tendrá que perder 9,5 centímetros.

Así, es necesario afilar el lápiz 19 veces.