jueves, 26 de diciembre de 2019

Ejercicios resueltos de trigonometría


Ejercicio 1.

Resuelve el triángulo del que se sabe que un ángulo A mide 22o, su lado opuesto a = 8 cm y otro ángulo B = 79o.

Solución:

Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el teorema del seno:




Como además conocemos dos ángulos, utilizando que los tres ángulos de un triángulo cualquiera suman 180o, podemos calcular el que falta:

C = 180o – (22o + 79o) = 180o – 101o = 79o

Sustituyendo los datos conocidos tenemos:




Se observa que hay dos ángulos iguales y, por tanto, el triángulo es isósceles, de forma que los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales.

Por tanto:


Por tanto:
A = 22o, B = C = 79o

a = 8 cm, b = c = 21,22 cm


Ejercicio 2.

Resuelve el triángulo del que se conocen los datos siguientes: A = 70o, b = 6 dm y c = 5 dm.

Solución:

Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno con la expresión correspondiente al coseno de A que es el ángulo conocido.


Sustituimos los datos que tenemos:


Ahora ya conocemos un ángulo y su lado opuesto, y podemos aplicar el teorema del seno:




Y ahora podemos calcular el ángulo que falta:

C = 180o – (70o + 62,25o) = 47,75o

Por tanto:

A = 70o, B = 62,25o, C = 47,75o

a = 6,37 dm, b = 6 dm, c = 5 dm


Ejercicio 3.

Se quiere vallar una parcela de forma triangular. Un lado mide 40 metros, otro 12 metros y el ángulo comprendido entre ellos mide 60o, ¿Cuántos metros de valla se necesitan?

Solución:

Como no se conocen un ángulo y su lado opuesto, no nos sirve el teorema del seno. Utilizamos el teorema del coseno:



Sustituimos los datos que tenemos: 


Como ya conocemos las longitudes de los tres lados podemos calcular el perímetro de la parcela:

Perímetro = 40 + 12 + 35,55 = 87,55 m

Luego se necesitan 87,55 metros de valla.



Ejercicio 4:

Tres pueblos A, B y C, forman un triángulo. La distancia entre A  y B es de 10 km, la distancia entre A y C es 6 km y las visuales desde C hasta A y hasta B forman un ángulo de 105o. ¿Cuál es la distancia entre B y C?

Solución:











Con los datos que nos dan en el enunciado, resulta que conocemos los lados c = 10 km, b = 6 km y C = 105o.


Como se conoce un ángulo y su lado opuesto podemos aplicar el teorema del seno:



Por tanto, A = 180o – (105o + 35,59o) = 39,41o

Aplicando de nuevo el teorema del seno, se tiene:




Así, la distancia entre B y C es 6,49 km.


Ejercicio 5.

Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:

cos2 x = 3 + 3 sen x

Solución:

Como sen2 x + cos2 x = 1 para cualquier ángulo x, despejamos cos2 x:

cos2 x = 1 – sen2 x

Sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

cos2 x = 3 + 3 sen x

1 – sen2 x = 3 + 3 sen x

Reordenamos términos y simplificamos:

0 = - 1 + sen2 x + 3 + 3 sen x

sen2 x + 3 sen x + 2 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

t2 + 3 t + 2 = 0

Resolvemos esta ecuación:


Las dos soluciones de esta ecuación son t1 = - 1 y t2 = - 2.


Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:

 sen x = - 1 o sen x = -2

La opción sen x = - 2 no es posible y, por ello, la única opción es que sen x = - 1, de donde se deduce que:

x = arc sen (- 1)

x = 270o + k · 360o   ó   x = (3 п/2) + 2 k п

Ejercicio 6:

Resuelve la ecuación trigonométrica siguiente:

2 sen x + 1 = 4 cos 2x


Solución:

Utilizamos que cos 2x = cos2 x – sen2 x, y sustituimos esta expresión en la ecuación dada:

2 sen x + 1 = 4 cos2 x – 4 sen2 x

Como sen2 x + cos2 x = 1 para cualquier ángulo x, despejamos cos2 x:

cos2 x = 1 – sen2 x

Sustituimos esta expresión en la ecuación anterior:

2 sen x + 1 = 4 cos2 x – 4 sen2 x

2 sen x + 1 = 4 - 4 sen2 x – 4 sen2 x

Simplificamos y reordenamos términos:

8 sen2 x + 2 sen x - 3 = 0

Hacemos el cambio de variable sen x = t:

8 t2 + 2 t – 3 = 0

Resolvemos esta ecuación:


Las dos soluciones de esta ecuación son:

t1 = 1/2 y t2 = - 3/4

Por tanto, deshaciendo el cambio de variable, resulta que:

 sen x = 1/2 o sen x = - 3/4

Así, las soluciones de la ecuación inicial son:


Ejercicio 7:

Demuestra la identidad trigonométrica siguiente:


Solución:


Ejercicio 8:

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica:

sen 2x · cos x – sen x · cos 2x = sen x

Solución:
sen 2x · cos x – sen x · cos 2x =

= (2 sen x · cos x) · cos x – sen x · (cos2 x – sen2 x) =

= 2 sen x · cos2 x – sen x · cos2 x + sen3 x =

= sen x · cos2 x + sen3 x = sen x · (cos2 x + sen2 x) =

= sen x · 1 = sen x

Trigonometría II



Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Ejercicios y problemas resueltos