sábado, 16 de diciembre de 2017

Preparación de Olimpiadas Matemáticas de E.S.O.



Aquí tenéis una  serie de problemas resueltos que os ayudarán a preparar las Olimpiadas Matemáticas.

Pincha en cada uno de los problemas.

Problema 1.               Problema 41.                Problema 81.                       Problema 121.
Problema 2.               Problema 42.                Problema 82.                       Problema 122.
Problema 3.               Problema 43.                Problema 83.                       Problema 123.
Problema 4.               Problema 44.                Problema 84.                       Problema 124.
Problema 5.               Problema 45.                Problema 85.                       Problema 125.
Problema 6.               Problema 46.                Problema 86.                       Problema 126.
Problema 7.               Problema 47.                Problema 87.                       Problema 127.
Problema 8.               Problema 48.                Problema 88.                       Problema 128.
Problema 9.               Problema 49.                Problema 89.                       Problema 129.
Problema 10.             Problema 50.                Problema 90.                       Problema 130.
Problema 11.             Problema 51.                Problema 91.                       Problema 131.
Problema 12.             Problema 52.                Problema 92.                       Problema 132.
Problema 13.             Problema 53.                Problema 93.                       Problema 133.
Problema 14.             Problema 54.                Problema 94.                       Problema 134.
Problema 15.             Problema 55.                Problema 95.                       Problema 135.
Problema 16.             Problema 56.                Problema 96.                       Problema 136.
Problema 17.             Problema 57.                Problema 97.                       Problema 137.
Problema 18.             Problema 58.                Problema 98.                       Problema 138.
Problema 19.             Problema 59.                Problema 99.                       Problema 139.
Problema 20.             Problema 60.                Problema 100.                     Problema 140.
Problema 21.             Problema 61.                Problema 101.                     Problema 141.
Problema 22.             Problema 62.                Problema 102.                     Problema 142.
Problema 23.             Problema 63.                Problema 103.                     Problema 143.
Problema 24.             Problema 64.                Problema 104.                     Problema 144.
Problema 25.             Problema 65.                Problema 105.                     Problema 145.
Problema 26.             Problema 66.                Problema 106.                     Problema 146.
Problema 27.             Problema 67.                Problema 107.                     Problema 147.
Problema 28.             Problema 68.                Problema 108.                     Problema 148.
Problema 29.             Problema 69.                Problema 109.                     Problema 149.
Problema 30.             Problema 70.                Problema 110.                     Problema 150.
Problema 31.             Problema 71.                Problema 111.                     Problema 151.
Problema 32.             Problema 72.                Problema 112.                     Problema 152.
Problema 33.             Problema 73.                Problema 113.                     Problema 153.
Problema 34.             Problema 74.                Problema 114.                     Problema 154.
Problema 35.             Problema 75.                Problema 115.                     Problema 155.
Problema 36.             Problema 76.                Problema 116.                     Problema 156.
Problema 37.             Problema 77.                Problema 117.                     Problema 157.
Problema 38.             Problema 78.                Problema 118.                     Problema 158.
Problema 39.             Problema 79.                Problema 119.                     Problema 159.
Problema 40.             Problema 80.                Problema 120.                     Problema 160.

viernes, 9 de diciembre de 2016

Problemas de programación lineal (con solución).


Problema 1. Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos F1, F2 y F3. Las unidades de dichos factores utilizados en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla.


Si el precio de venta de un frasco de perfume es de 60 €, de una de agua de colonia es de 20 €, y la empresa dispone de 240 unidades de F1, 360 de F2 y 440 de F3; calcula el número de frascos de cada tipo que debe de fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

Solución:

La función objetivo que hay que maximizar es:

 f(x, y) = 60 x + 20 y

Y con las restricciones:


Los vértices se encuentran en los puntos siguientes:

 A (0, 110), B (20, 110), C (180, 30) y D (180, 0)

El máximo valor se obtiene en f (180, 30) = 11400, luego el máximo beneficio se consigue haciendo 180 frascos de perfume y 30 de agua de colonia.


Problema 2. Una compañía fabrica y vende dos modelos de mesillas de noche M1 y M2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo M1 y de 30 minutos para el M2; y un trabajo de máquina de 20 minutos para M1 y de 10 minutos para M2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes.

Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para M1 y M2, respectivamente, ¿cómo hay que planificar la producción de mesillas para obtener el máximo beneficio?

Solución:

La solución óptima es fabricar 210 del modelo M1 y 60 del modelo M2 para obtener un beneficio de 3 750 €.


Problema 3. Un camionero transporta dos tipos de mercancías, X e Y, ganando 60 y 50 euros por tonelada respectivamente. Al menos debe transportar 8 toneladas de X y como mucho el doble de cantidad que de Y. 

¿A cuánto asciende su ganancia total máxima si dispone de un camión que puede transportar hasta 30 toneladas?

Solución: la ganancia total máxima es de 1700 euros que conseguirá transportando 20 toneladas de X y 10 toneladas de Y.


Problema 4.Con el comienzo del curso se va a lanzar una oferta de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolos de dos formas distintas; en el primer lote pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrá 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada lote serán 6.5 € y 7 €, respectivamente.

 ¿Cuántos lotes de cada tipo es conveniente empaquetar para obtener el máximo beneficio?

Solución:

La solución óptima son 150 lotes del primer tipo y 100 lotes del segundo tipo.


Problema 5. Un agricultor desea plantar 750 cerezos, 700 perales y 650 manzanos. En el vivero Agro ofrecen un lote de 15 cerezos, 30 perales y 10 manzanos por 700 euros y en el vivero Ceres el lote de 15 cerezos, 10 perales y 20 manzanos cuesta 650 euros.

a) Plantea y resuelve un programa lineal para averiguar el número de lotes que ha de comprar en cada vivero para que pueda plantar los árboles que desea y para que el coste total de adquisición sea mínimo.

b) ¿Utiliza el agricultor todos los árboles que ha adquirido?. En caso negativo di cuántos no ha plantado y de qué tipo son.   

Solución: 

a)  El precio es mínimo con 10 lotes de Agro y 40 de Ceres.

b) Utiliza todos los cerezos y todos los perales, pero deja sin utilizar 250 manzanos.


Problema 6. En la elaboración artesana de pastillas de jabón, se dispone de 600 g de un determinado colorante para colorear pastillas grandes y pequeñas. Cada una de las grandes necesita 40 g de dicho colorante y cada una de las pequeñas 30 g. Se quiere elaborar al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €.

¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

Solución:

El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.


Problema 7. Una peña de aficionados de un equipo de fútbol encarga a una empresa de transportes el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la final de su equipo. La empresa dispone de autobuses de 50 plazas y de microbuses de 30 plazas. El precio de cada autobús es de 252 euros y el de cada microbús de 180 euros. 

Sabiendo que la empresa sólo dispone de 28 conductores, se pide:

a) ¿Qué número de autobuses y microbuses deben contratarse para conseguir el mínimo coste posible?

b) ¿Cuál será el valor de dicho coste mínimo?

Solución: 

a) 24 autobuses y ningún microbús.

b) el coste sería de 6048 euros.


Problema 8. En una fábrica se hacen dos tipos de mesa de jardín: Laguna y Sociedad. Cada mesa Laguna necesita un cuarto de acero por cada Kg. de madera y produce un beneficio de 250 euros, mientras que una mesa Sociedad necesita medio Kg. de acero por cada Kg. de madera y produce 400 euros de beneficio. En la fábrica se pueden elaborar diariamente hasta 150 Kg. de madera y 50 Kg. de acero, aunque por problemas de maquinaria no pueden fabricar mas de 125 mesas de cada tipo.

¿Cuántas mesas de cada tipo deben fabricar al día para que sea máximo el beneficio?

Solución:

Se tienen que fabricar 100 mesas Laguna y 50 mesas Sociedad.


Problema 9. Un colegio prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 chóferes. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. 

Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más barata posible para el colegio.

Solución:

5 autocares de 40 plazas y 4 de 50 plazas.


Problema 10. Se va a organizar una planta de un taller de maquinaria donde van a trabajar diseñadores y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de diseñadores y que el número de mecánicos no supere al doble que el de diseñadores. En total hay disponibles 30 diseñadores y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por diseñador y 200 euros por mecánico.

¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Solución:

20 diseñadores y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros.