P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B4

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B4. Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0,3, la de que no llueva en la ciudad B es 0,6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es 0,5.

a) Calcula la probabilidad de que no llueva en ninguna de las dos ciudades.

b) Calcula la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los sucesos “llueve en la ciudad A” y “llueve en la ciudad B”?

Solución:

Si P (A) = 0,3 es la probabilidad de que llueva en A, la probabilidad de que no llueva en A es P (A^c) = 1 – 0,3 = 0,7.

Si P (B^c) = 0,6 es la probabilidad de que no llueva en B, la probabilidad de que  llueva en B es P (B) = 1 – 0,6 = 0,4.

La probabilidad de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es P (A U B) = 0,5.

Como P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B), tenemos que:

0,5 = 0,3 + 0,4 - P (A ∩ B)

P (A ∩ B) = 0,3 + 0,4 – 0,5 = 0,2

Ordenamos los datos conocidos en la siguiente tabla:

Podemos completar los datos que faltan:

a) Observamos en la tabla que la probabilidad de que no llueva en ninguna de las dos ciudades es 0,5.

b) La probabilidad de que llueva en las dos ciudades es 0,2.

Para que los sucesos mencionados sean independientes debe cumplirse que:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Pero, en este caso, P (A) · P (B) = 0,3 · 0,4 = 0,12 ≠ 0,2 = P (A ∩ B).

Por tanto, los sucesos no son independientes.