Problema 7.9.

En un garaje hay coches y motos, de forma que entre todos ellos no llegan a 25. Si contamos las ruedas de todos esos vehículos y dividimos el número obtenido entre 3,7 resulta, precisamente, el número total de vehículos.

¿Cuántos coches y cuántas motos hay?

Solución:

Si llamamos x al número de coches e y al de motos, tenemos que:

4 x + 2 y = 3,7 · (x + y)

4 x + 2 y = 3,7 x + 3,7 y

0,3 x = 1,7 y

Multiplicando los dos miembros de la igualdad anterior por 10, resulta que 3 x = 17 y.

Como x e y son números enteros y, además, 3 y 17 son primos entre sí, se deduce que x es múltiplo de 17 e y es múltiplo de 3.

Ya que el número total de vehículos no llega a 25, x = 17 pues cualquier otro múltiplo de 17 superaría esa cota de 25.

Entonces, el valor de y solo puede ser y = 3 o y = 6, por el mismo motivo.

Pero, si y = 6, el número de ruedas sería 17·4 + 6·2 = 80, que no es divisible por 3,7.

Por tanto, y = 3 ya que, en este caso, el número de ruedas sería 17·4 + 3·2 = 74,  y se cumple que 74:3,7 = 20, que coincide con el número total de vehículos (17 coches y 3 motos).