Problema 7.10.

Dos números positivos se diferencian en cuatro unidades. Si al cuadrado del mayor le restamos la cuarta potencia del menor se obtiene el mismo resultado que si sumamos cuatro unidades a ocho veces el menor de ambos números.

Solución:

Si llamamos x al menor de ambos números, el mayor será x + 4.

Aplicamos la condición expuesta en el enunciado y obtenemos la ecuación siguiente:

(x + 4)² – x⁴ = 8 x + 4

Operamos para simplificar la ecuación:

x² + 8 x + 16 – x⁴ = 8 x + 4

x² + 8 x + 16 – x⁴ - 8 x – 4 = 0

x² + 12 – x⁴ = 0

La reordenamos y obtenemos la siguiente ecuación bicuadrada:

- x⁴ + x² + 12 = 0

Hacemos el cambio de variable t = x²:

-t ² + t + 12 = 0

La resolvemos:

Sus soluciones son t₁ = - 3 y t₂ = 4.

Deshaciendo el cambio de variable, como la raíz cuadrada de – 3 no es un número real, las posibles soluciones para la incógnita x son x₁ = 2 y x₂ = -2.

Pero como el enunciado se pide que sean números positivos, la única solución válida es x = 2, con lo que x + 4 = 6.

De esta forma los números buscados son 2 y 6.