Problema 8.1.

Si x = 3 es una solución de la ecuación 4 x⁴ – 37 x² + a = 0, ¿cuáles son sus otras soluciones?

Solución:

Al ser x = 3 solución de la ecuación, ha de cumplirse que:

4 ·3⁴ – 37 ·3² + a = 0

Es decir, que 324 – 333 + a = 0, de donde despejamos el valor de a:

a = 342 – 333 = 9

De esta forma, la ecuación cuyas soluciones queremos conocer es:

4 x⁴ – 37 x² + 9 = 0

Al tratarse de una bicuadrada hacemos el cambio de variable t = x², con el que la transformamos en la siguiente:

4 t ² – 37 t + 9 = 0

La resolvemos:

Las soluciones de esta ecuación son t₁ = 9 y t₂ = 1/4.

Deshaciendo el cambio de variable, obtenemos, al calcular las raíces cuadradas de t₁ y t₂:

x₁ =3, x₂ = - 3, x₃ = 1/2, x₄ = - 1/2

Así, las otras soluciones de la ecuación son -3,  1/2  y – 1/2.