Ejercicios de funciones.

Ejercicio 1. Calcula el siguiente límite:

Solución: 2 / 3

Ejercicio 2. Calcula los siguientes límites:

Solución: a) e ^8/5       b) e ^8/7

Ejercicio 3. Calcula los siguientes límites:

Solución: a) 1        b) 5 

Ejercicio 4. Dada la siguiente función, halla el valor de a para que f(x) tenga límite en el punto x = 2 y calcula dicho límite.

Solución: a = 7/2 y el límite es 0.

Ejercicio 5. Halla el valor de k para que sea continua la función:

Solución: f(x) es continua cuando k = 9

Ejercicio 6. Sea la función  f (x) = x² - 5x + 8:

a) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes?

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto P (1,2).

Solución: a) en el punto (3, 2)    

b) la tangente es y = - 3x + 5

Ejercicio 7.  La función f(x) = x³ + a x² + b x + c  cumple que su gráfica pasa por el punto (-1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0,4).

a) Determina la función f (calcula a, b y c).

b) Calcula la tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.

Solución: a) a = - 3, b = 0, c = 4  [ f (x) = x ³ – 3 x ² + 4 ].  

                 b) la tangente es y = 9 x – 23.

Ejercicio 8. Calcula la función derivada de f (x) = x³ – 4x² + 1 y halla:

a) Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas –1, 1 y 3.

b) Las ecuaciones de dichas rectas tangentes.

c) Las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos.

d) ¿Es f (x) creciente o decreciente en x = 2?

Solución:

f ' (x) = 3x² – 8x

a) f ' (–1) = 11, f ' (1) = –5, f ' (3) = 3.

b) y = 11 (x + 1) – 4;         y = –5 (x – 1) – 2;        y = 3 (x – 3) – 8.

c) x = 0, x = 8/3.

d) f ' (2) = –4 < 0 8 , por tanto, decreciente.

Ejercicio 9. Sabemos que la función y = (x + a) (x² – 4), donde a es número real, tiene un mínimo y un máximo relativo. Si el máximo relativo se alcanza en x = - 1/3, encuentra la abscisa del punto donde se alcanza el mínimo relativo.

Solución: el mínimo relativo lo alcanza en x = 4.

Ejercicio 10. Dada la siguiente función:

a) Determina sus máximos y mínimos relativos.

b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) Calcula sus puntos de inflexión.

Solución: a) el mínimo relativo es ( 1, - 1/6) y el máximo relativo es (- 2, 13/3).

  b) f(x) es estrictamente creciente en (- ∞, - 2) y ( 1, + ∞), y estrictamente decreciente en (- 2, 1).

                  c) el punto de inflexión es ( - 1/2, 25/12).

Ejercicio 11. Dada la siguiente función, determina:

a) Los máximos relativos y los mínimos relativos.

b) Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento.

Solución: a) hay un máximo relativo que es (0, -1/4).

                   b) f (x) es estrictamente creciente en ( - ∞, -2) y en (2, + ∞), y es estrictamente decreciente en  (- 2, 0) y en (0, 2).

Ejercicio 12. Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la siguiente función:

B(x) = 2 x - x² - 0,84

siendo B(x) el beneficio por kilogramo, expresado en euros, cuando x es el precio de cada kilogramo también en euros.

a) ¿Entre qué precios por kilogramo se producen beneficios para el almacenista?

b) ¿Qué precio por kilogramo maximiza los beneficios para éste?

c) Si tiene en el almacén 10000 kilogramos de fresas ¿cuál será el beneficio total máximo que podría obtener?

Solución: a) se producen beneficios entre 0,6 euros y 1,4 euros el kilogramo.

 b) el beneficio máximo se produce cuando se vende cada kilogramo a 1 euro.

 c) El beneficio al vender los 10.000 kilogramos son  1.600 euros