Problema 8.

Consideramos la siguiente función:

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto P cuya abscisa es x = 3.

b) Encuentra el punto de corte entre la tangente hallada en el apartado anterior y la asíntota horizontal de la curva.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 3 es:

y – f (3) = m · (x – 3), siendo m = f ´ (3)

Calculamos el valor de la pendiente m:

m = f ´ (3) = - 5

Así, podemos calcular la ecuación de la recta tangente:

y – f (3) = - 5 · (x – 3)

y – 7 = - 5 · (x – 3)

y = - 5 x + 22

b) Como la asíntota horizontal de la curva es la recta de ecuación y = 2, el punto de corte pedido será el que se obtiene al resolver el sistema:

Sustituyendo el valor y = 2 en la primera ecuación del sistema, obtenemos:

- 5 x + 22 = 2

- 5 x = - 20

x = 4

Por tanto, el punto de corte es P (4, 2).