Ejercicio 10

Una persona va a la bodega y compra vino. En total compra 20 botellas y se gasta 100 euros. Compra botellas de tres tipos. A, B y C, que cuestan 3 €, 7 € y 8 €, respectivamente.

Halla el número de botellas que ha comprado de cada tipo, sabiendo que ha comprado al menos una de cada tipo.

Solución:

Identificamos las incógnitas:

x = nº de botellas que compra del tipo A

y = nº de botellas que compra del tipo B

z = nº de botellas que compra del tipo C

Las condiciones del enunciado dan lugar al sistema siguiente:

Aplicamos al sistema el método de Gauss:

Este sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Pero, según las condiciones del enunciado, solo nos sirven para los valores de las incógnitas números enteros y mayores o iguales que uno.

Despejamos y de la segunda ecuación:

El único valor de z, entero y mayor o igual que uno, para el cual  y es también entero y mayor o igual que uno, es z = 4.

En este caso, sustituyendo z en la expresión anterior, se deduce que y = 5.

Despejamos x de la primera ecuación:

x + y + z = 20; x + 5 + 4 = 20; x = 11

Así, ha comprado 11 botellas del tipo A, 5 del tipo B y 4 del tipo A.