P.A.U. Matemáticas Aplicadas a CCSS - Murcia - 2016 - Opción B - Cuestión B2

P.A.U. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - JUNIO 2016

OPCIÓN B

CUESTIÓN B2. Halla las derivadas de las siguientes funciones:

Solución:

a) Se trata de derivar un producto de funciones.

b) Se trata de derivar un cociente de funciones:

Problemas resueltos de derivadas.

Problema 1.

Problema 2.

Problema 3.

Problema 4.

Problema 5.

Problema 6.

Problema 7.

Problema 8.

Problema 8.

Consideramos la siguiente función:

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto P cuya abscisa es x = 3.

b) Encuentra el punto de corte entre la tangente hallada en el apartado anterior y la asíntota horizontal de la curva.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a f (x) en x = 3 es:

y – f (3) = m · (x – 3), siendo m = f ´ (3)

Calculamos el valor de la pendiente m:

m = f ´ (3) = - 5

Así, podemos calcular la ecuación de la recta tangente:

y – f (3) = - 5 · (x – 3)

y – 7 = - 5 · (x – 3)

y = - 5 x + 22

b) Como la asíntota horizontal de la curva es la recta de ecuación y = 2, el punto de corte pedido será el que se obtiene al resolver el sistema:

Sustituyendo el valor y = 2 en la primera ecuación del sistema, obtenemos:

- 5 x + 22 = 2

- 5 x = - 20

x = 4

Por tanto, el punto de corte es P (4, 2).

Problema 7.

Se define la función f (x) de la forma siguiente:

Halla a y b para que f sea derivable para todo valor de x.

Solución:

Para que f (x) sea derivable también ha de ser continua.

Independientemente de los valores a y b, f (x) es continua y derivable en todos los puntos de su dominio excepto en el punto x = 1. Por ello, hay que hallar los valores de a y b para los que la función es continua y derivable en dicho punto.

Para ser continua en x = 1 debe cumplirse que:

f (1) = a + b – 1

Por tanto:

a + b – 1 = 1

a + b = 2

Para ser derivable en x = 1 debe cumplirse que f ´ (1^- ) = f ´ (1⁺).

Como f (x) = a + b x –  x²  si x £ 1, resulta que  f ´ (1^- ) = b – 2 · 1 = b – 2

Como f (x) = 1 / x   si x > 1, resulta que  f ´ (1⁺) = - 1 / 1² = - 1.

Por tanto, se debe cumplir que  b – 2 = - 1; es decir, que  b = 1.

En conclusión, ha de cumplirse que a + b = 2 y b = 1; es decir, que los valores buscados son a = 1 y b = 1. 

Problema 6.

Consideramos las siguientes funciones:

a) Calcula los valores de a y b de manera que las gráficas de f (x) y de g(x) sean tangentes en el punto de abscisa x = 3, es decir, que tengan la misma recta tangente en este punto.

b) Halla la ecuación de la recta tangente mencionada en el apartado anterior.

Solución:

a) La pendiente de la recta tangente a f (x) en x = 3 es m = f ´ (3):

f ´ (x) = 2 x – a

m = f´ (3) = 2 · 3 – a = 6 – a

La pendiente de la recta tangente a g (x) en x = 3 es m´ = g ´ (3):

g ´ (x) =  x

m´ = g´ (3) = 3

La ecuación de la recta tangente a  f (x) en x = 3 es:

y – f (3) = m · (x – 3)

y – (5 -  3 a) = (6 – a) · (x – 3)

y – 5 + 3 a = (6 – a) · x – 18 + 3 a

y = (6 – a) · x – 13

La ecuación de la recta tangente a g (x) en x = 3 es:

y – g (3) = m´ · (x – 3)

y – [(9 /2) + b] = 3 · (x – 3)

y – 9 / 2 - b = 3 x – 9

y = 3 x – 9 + 9 / 2 + b

y = 3 x – 9 / 2 + b

Entonces, para que ambas tangentes sean iguales deben cumplirse las dos condiciones siguientes:

6 – a = 3

- 13 =  –9 / 2 + b

Despejamos los valores de a y b:

a = 3         b = – 17 / 2

b) La ecuación de la recta tangente será, por tanto:

y = 3 x - 13

Problema 5.

a) ¿En qué puntos la derivada de la función  f (x) = x ³ + 3x ² – 9x + 5 toma el valor cero?

b) ¿Cómo será la recta tangente a esta curva en dichos puntos?

c) Halla las ecuaciones de dichas tangentes.

Solución:

a) Al igualar a cero la derivada de la función dada se obtiene la siguiente ecuación de segundo grado:

3 x ² + 6 x – 9 = 0

Resolvemos dicha ecuación:

Por tanto, los valores de son: x = 1 y x = - 3

Así, la derivada toma el valor cero en x = 1 y en x = - 3.

b) Las rectas tangentes a esta curva en los dos puntos encontrados serán rectas horizontales, ya que su pendiente es nula en ambos puntos.

c) La ecuación de la tangente en el punto x = 1 es:

y – f (1) = 0 · (x – 1)

y – 0 = 0

y = 0

La ecuación de la tangente en el punto x = - 3 es:

y – f (- 3) = 0 · (x + 3)

y – 32 = 0

y = 32

Problema 4.

Halla los valores de a, b y c en la función f (x) = ax³ + bx² + 2x + c sabiendo que su tangente en el punto (1, 1) es la recta  y = − x + 2 y que la función pasa por el punto (0, 2).

Solución:

Según los datos que se dan, deducimos que se cumplen las condiciones siguientes:

- La gráfica de f (x) pasa por el punto (1, 1); es decir, f (1) = 1. Por tanto:

a · 1³ + b · 1² + 2 · 1 + c = 1

a + b + c =  - 1

-  La gráfica de f (x) pasa por el punto (0, 2); es decir, f (0) = 2. Entonces:

a · 0³ + b · 0² + 2 · 0 + c = 2

c =  2

- La tangente en el punto (1, 1) es la recta  y = − x + 2; es decir,  la pendiente de la recta tangente en dicho punto tiene pendiente m =  - 1:

f ´ (1) = - 1

Además, sabemos que:

f ´ (x) = 3 a x ² + 2 b x + 2

f ´ (1) = 3 a + 2 b + 2 = - 1

3 a + 2 b = - 3

En conclusión, las condiciones que deben cumplirse dan lugar al sistema de ecuaciones siguiente:

Y este sistema es equivalente al siguiente:

Multiplicamos la primera ecuación por – 2:

Sumamos ambas ecuaciones y obtenemos:

a = 3

Sustituyendo los valores de a y c en la primera ecuación del sistema, se tiene que:

a + b + c = - 1

3 + b + 2 = - 1

b = -6

Por tanto, los valores buscados en f (x) son a = 3, b = - 6 y  c = 2.

Problema 3.

Determina la ecuación de una función f (x) de segundo grado sabiendo que pasa por el punto P (2, 6), y que el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto Q (1, - 1) es 5.

Solución:

Como la función que tenemos que determinar es de segundo grado, es de la forma:

 f(x) = a x² + b x + c

Por tanto, tenemos que hallar los valores de a, b y c con las condiciones que nos dan en el enunciado.

- Al pasar por el punto P (2, 6) la función cumple:

f (2) = 6 

a · 2² + b · 2 + c = 6

4 a + 2 b + c = 6

- Al pertenecer Q (1, - 1) a la gráfica de la función tenemos:

f (1) = - 1

a · 1² + b · 1 + c = - 1

a + b + c = - 1

- Como la pendiente de la derivada en x = 1 es 5  y, además, f ´(x) = 2 a x + b, tenemos la siguiente condición:

f ´ (1) = 2 ·a ·1 + b = 5

2 a + b = 5

Con las tres ecuaciones obtenidas formamos el sistema siguiente:

Si restamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por dos tenemos que  c = - 4.

Sustituyendo este valor de c en la segunda ecuación conseguimos:

a + b = 3

a = 3 - b

Sustituyendo los valores obtenidos de a y c en la primera ecuación obtenemos:

4 · (3 – b) + 2 b + (- 4) = 6

12 – 4 b + 2 b – 4 = 6

- 2 b = -2

b = 1

Como sabemos que a = 3 – b, sustituyendo el valor obtenido para b, se deduce que a = 2.

Y, de esta forma, la función pedida es:

f (x) = 2 x² + x – 4

Problema 2.

¿En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x ² + 5x – 6 es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Halla la ecuación de dicha tangente.

Solución:

La bisectriz del primer cuadrante es la recta de ecuación y = x, cuya pendiente es 1.

Así, para que la tangente a la gráfica de f (x) sea paralela a esta bisectriz, debe  tener como pendiente m = 1 en el punto buscado.

Suponemos que la abscisa del punto es  x = a.

Ya que dicha pendiente es el valor de la derivada de la función en dicho punto, tenemos que:

m = f ´ (a) = 2 a + 5 = 1

2 a = - 4

a = - 2

Así, la recta tangente es paralela a esta bisectriz en el punto de abscisa x = - 2; es decir, en el punto ( - 2, f (- 2) ) = ( - 2, - 12).

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = a es:

y – f (a) = m · (x – a)

Por tanto, la ecuación de la recta tangente buscada es:

y – ( - 12) = 1 · [ x – ( - 2)]

y + 12 = x + 2

y = x - 10

Problema 1.

Halla la tasa de variación instantánea de f (x) = 5x² + 2x – 6 en el punto x = 3.

Solución:

La tasa de variación instantánea de la función en el punto x = 3 es:

Sustituimos la expresión correspondiente a la función f (x):