Problema 9.7.

Tenemos 48 caramelos distribuidos en 3 bolsas.

Si de la primera bolsa pasamos a la segunda tantos caramelos como hay en ésta, luego de la segunda a la tercera tantos como hay en la tercera y, por último, de la tercera a la primera tantos caramelos como ahora hay en ésta, resulta que todas las bolsas tienen el mismo número de caramelos.

¿Cuántos caramelos había en un principio en cada bolsa?

Solución:

Si consideramos x, y, z, los caramelos iniciales en cada bolsa y expresamos los pasos de caramelos de una bolsa a otra en una tabla, tenemos la siguiente:

Como las tres bolsas tienen la misma cantidad de caramelos al finalizar el tercer paso, cada bolsa tendrá al final 16 caramelos.

Por tanto, igualando cada término de la columna del último paso a 16, resulta el sistema de ecuaciones siguiente:

2 x – 2 y = 16

2 y – z = 16

2 z – x + y = 16

De la primera ecuación despejamos que x = 8 + y.

De la segunda, despejamos que z = 2 y - 16.

Sustituimos las dos expresiones despejadas en la tercera ecuación del sistema:

2 · (2 y - 16) – (8 + y) + y = 16

Simplificamos y resolvemos:

4 y - 32 – 8 – y + y = 16

4 y = 16 + 40

4 y = 56

y = 14

Y, sustituyendo en las expresiones despejadas anteriormente, deducimos que:

x = 8 + y = 8 + 14 = 22

z = 2 y – 16 = 28 – 16 = 12

Por tanto, las bolsas primera, segunda y tercera contenían al principio 22, 14 y 12 caramelos, respectivamente.