lunes, 5 de febrero de 2018

Producto escalar y ángulo de dos vectores

Vamos a estudiar ahora cómo se relacionan dos vectores mediante el ángulo que forman y sus módulos.

Dados dos vectores u y v, llamamos producto escalar de u y v, y lo denotamos por u · v, al número real que obtenemos mediante la expresión:

u · v = | u | · | v | · cos (u, v)

Está claro que, como los módulos de u y v y el coseno del ángulo que forman son números reales, el producto escalar es un número real.

Veamos qué interpretación geométrica tiene el producto escalar.

El producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.


Como podemos ver en la figura, v’ = v · cos v, y v’ es la proyección de v sobre el vector u.



 
Luego  | u | · | v | · cos (u, v) = | u | · v’

Veamos las propiedades del producto escalar y las consecuencias que podemos obtener.

-      u2 = | u |2

En efecto, u2 = u  u = |u | |u | cos (u, u) = |u |2 cos 0º = | u |2

-      Si {e1 , e2 } base canónica se tiene:

e1 2 = e1 e1 = | e1 |2 = 1

e2 2 = e2 e2 = | e2 |2 = 1

-      Si u y v son perpendiculares u · v = 0 ya que cos 90º = 0.

-      Conmutativa: u v = v u.

-      Dados dos vectores unitarios u y v, su producto escalar es igual al coseno del ángulo que forman.

Ejemplo:

Hallemos el producto escalar de dos vectores u y v, que forman un ángulo de 60º y cuyos módulos son | u | = 3 y | v | = 2.

u · v = | u | · | v | ·cos (u, v) = 3 · 2 ·cos 60º = 6 · 1/2 = 3

A partir de estas propiedades podemos deducir lo siguiente:

-  Dos vectores u, v, no nulos,  son ortogonales Û u · v = 0.

-  Si tenemos dos vectores u y v ortogonales se cumple que:
-      
 | u + v |2 = | u |2 + | v |2

En efecto, como hemos visto en las propiedades del producto escalar, para cualquier vector u se tiene que  u2 = | u |2, por tanto:

| u + v |2 = (u + v) · (u + v) = u2 + 2 uv + v2 =  | u |2 + | v |2

Este resultado es el teorema de Pitágoras.

Veamos ahora cómo podemos obtener la expresión del producto escalar en función de sus coordenadas.

Sean u y v vectores de coordenadas (u1, u2) y (v1, v2) respecto de la base canónica {e1 , e2 }. Entonces el producto escalar de u y v viene dado por:

u · v = u1 v1 + u2 v2

Sean ahora u y v vectores de coordenadas (u1, u2) y (v1, v2)respecto de una base cualquiera B = {x, y}. Se tiene que u = u1 x + u2 y  y  v = v1 x + v2 y, y su producto escalar será:

u · v = ( u1 x + u2 y) · ( v1 x + v2 y) =

= u1 v1 x2 + u1 v2 xy + u1 v1 xy + u2 v2 y2 =

= u1 v1 x2 + (u1 v2  + u1 v1) xy + u2 v2  y2

Si la base B fuese ortonormal, ortogonal o normal el producto escalar tendría expresiones distintas, ya que cada tipo de base tiene unas propiedades. En el caso de las bases ortonormales, el producto escalar se expresa como u · v = u1 v1 + u2 v2, y su cálculo se simplifica.

Cuando no se especifica respecto de qué base son las coordenadas de un vector, se entiende que es respecto de la base canónica.

Ángulo comprendido entre dos vectores

A continuación vemos que el producto escalar de dos vectores nos va a permitir calcular el coseno del ángulo comprendido entre ambos vectores.

Dados dos vectores, no nulos, u = (u1, u2) y v = (v1, v2), se cumple que:


Si los vectores u y v están expresados respecto de una base ortonormal, el coseno del ángulo que encierran ambos vectores se expresa en función de sus coordenadas de la forma siguiente: 


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