Bases del plano

Hemos visto en el apartado anterior que dos vectores que tienen distinta dirección son independientes, y además, que tres vectores cualesquiera del plano son linealmente dependientes. Estas dos consecuencias nos llevan a la siguiente definición:

Dado el conjunto B = {u, v} de vectores de V², diremos que B es una base de V² si verifica:

a) Los vectores de B son linealmente independientes.

b) Todo vector de V² es combinación lineal de los vectores de B.

Realmente, en V² dos vectores linealmente independientes forman una base, ya que, como se ha visto anteriormente, todo conjunto de tres vectores de V² es linealmente dependiente.

Luego todas las bases de V² están formadas por dos vectores independientes.

Ejemplo:

El conjunto B = {e₁, e₂}, donde  e₁ = (1, 0) y e₂ = (0, 1), es una base de V², conocida como base canónica. 

Como hemos visto en la definición, si tenemos una base de V², cualquier vector de V² es combinación lineal de los vectores que forman la base, y esto nos lleva al siguiente concepto:

Dado el vector w de V² y una base B = {u, v} de V² , llamamos coordenadas de w respecto a B, al par (a, b) que verifica:

W = a u + b v, siendo a y b números reales

Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas.

Ejemplo:

Dada la base B = {(1, 0), (1, 1)}, veamos cuáles serán  las coordenadas del vector w = (5, 3) respecto de la base B.

(5,3) = a(1, 0)+ b(1, 1) Þ (5,3) = (a, 0) + (b, b) = (a + b, b)

Igualando coordenadas, se deduce que a = 2 y b = 3.

Luego el vector w tiene de coordenadas (2, 3) respecto de la base B.

Dada  B = {e₁, e₂}, base canónica de V² , las coordenadas de cualquier  vector w (a, b) respecto de esta base canónica se llaman coordenadas cartesianas del vector w.

Sea el vector v, cuyas coordenadas cartesianas son (x, y), llamamos módulo del vector v, al número real positivo:

Un vector es unitario si su módulo es la unidad.

Ejemplos:

·      El vector e₁ = (1, 0) es unitario.

·      El vector u = (3, 4) no es unitario, ya que su módulo es 5.

Vamos a conseguir un vector de la misma dirección y sentido que u pero de módulo 1. Realizar esto se denomina normalizar un vector.

Para realizar esto, sólo es necesario dividir las coordenadas de u por su módulo.

Ejemplo:

Sea u = (3, 4), cuyo módulo es   5.

Si consideramos el vector de coordenadas (3/5, 4/5), podemos comprobar que su módulo es 1 y, además, tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector u.

Dados los vectores u y v, diremos que son ortogonales cuando u y v sean perpendiculares, es decir, forman un ángulo de 90º.

Ejemplo:

Los vectores e₁ = (1, 0) y e₂ = (0, 1) son ortogonales, ya que si los representamos gráficamente, se observa que son perpendiculares.

Dada una base B {u, v} de V², diremos que:

-      B es una base ortogonal si u y v son ortogonales.

-      B es una base normal si u y v son unitarios.

-      B es una base ortonormal si u y v son unitarios y ortogonales.

Ejemplo:

Los vectores e₁ = (1, 0) y e₂ = (0, 1) son unitarios y ortogonales.

Por tanto, la base canónica es ortonormal.