Asíntotas de una función.

Cálculo de las asíntotas de una función.

Ejercicios resueltos de asíntotas de funciones.

Cálculo de las asíntotas de una función.

El comportamiento de una función f(x) cuando x tiende a +∞, cuando tiende a -∞, o cuando se acerca a los puntos de discontinuidad de la función, en ocasiones da lugar a la existencia de asíntotas. Estas son rectas a las que se acerca la gráfica de f(x) cuando x tiende a los puntos indicados.

Las asíntotas de una función pueden ser de tres tipos:

- Verticales (pueden existir infinitas)

- Horizontales (pueden existir dos, una o ninguna)

- Oblicuas (pueden existir dos, una o ninguna)

Vamos a ver cómo calcular las ecuaciones de una asíntota:

Asíntota vertical:

La recta x = a es una asíntota vertical de f(x) si se cumple que:

Asíntota horizontal:

La recta y = b es una asíntota horizontal de f(x) si se cumple que:

Asíntota oblicua:

La recta y = m x + n, con m ≠ 0, es una asíntota oblicua de f(x) si se cumple que:

ó que:

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes; es decir, la existencia de unas implica la no existencia de las otras.

Puntos de corte de una función con sus asíntotas.

Para hallar los puntos de corte de una función y una cualquiera de sus asíntotas se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de ambas:

Ejercicios resueltos de asíntotas de funciones.

Ejercicio 1.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de esta función racional es R – {-1, 1}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales en los puntos que no pertenecen al dominio.

Por tanto, esta función presenta dos asíntotas verticales, que son las rectas x = 1 y x = - 1.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.

Ejercicio 2.

Halla las asíntotas de la función siguiente:

Solución:

El dominio de la función es R – {2}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 2, que no pertenece al dominio:

De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 2.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Calculamos ahora el valor de n correspondiente:

(Para el cálculo m y n ha sido preciso resolver sendas indeterminaciones de la forma ∞/∞).

Así, la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y = x + 2.

Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞, se obtienen los mismos valores que en el caso anterior. Por tanto, la función tiene una única asíntota oblicua.

Ejercicio 3.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función es R – {0}.

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 0, que no pertenece al dominio:

De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 0 (el eje de ordenadas).

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Si calculamos el valor de m cuando x tiende a - ∞, se obtiene como resultado -∞.

Por tanto, la función no tiene asíntotas oblicuas.

Ejercicio 4.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función es R – {3}.

Calculamos los límites laterales de la función en el punto x = 3, que no pertenece al dominio:

De esta forma, la función tiene una asíntota vertical que es la recta de ecuación x = 3.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

De esta forma, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Calculamos ahora el valor de n correspondiente:

(Para el cálculo m y n ha sido preciso resolver sendas indeterminaciones de la forma ∞/∞).

Así, la función tiene una asíntota oblicua cuya ecuación es y = - x - 3.

Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞, se obtienen los mismos valores que en el caso anterior. Por tanto, la función tiene una única asíntota oblicua.

Ejercicio 5.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

Asíntotas verticales:

Como el denominador no se anula para ningún valor real de x, el dominio de la función es R y la función es continua en todo el dominio. Así, podemos asegurar que no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 0 (el eje de abscisas).

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.

Ejercicio 6.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

Asíntotas verticales:

Como el denominador no se anula para ningún valor real de x, el dominio de la función es R y la función es continua en todo el dominio. Así, podemos asegurar que no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

(Para calcular los límites anteriores ha sido preciso resolver una indeterminación del tipo ∞/∞).

Así, la función tiene una única asíntota horizontal que es la recta de ecuación y = 1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntota horizontal, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.

Ejercicio 7.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x² – 4 > 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 2) U (2, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 2 y x = 2, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:

Así, la función tiene dos asíntotas verticales que son las rectas de ecuaciones x = - 2  y  x = 2.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

Por tanto, la función tiene una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación y = 1.

Aplicamos la siguiente propiedad:

Por tanto, tiene una asíntota horizontal en el -∞, que es la recta de ecuación y = -1.

Asíntotas oblicuas:

Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene ninguna asíntota oblicua.

Ejercicio 8.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x² – 1 > 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 1) U (1, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 1 y x = 1, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:

Así, la función tiene dos asíntotas verticales que son las rectas de ecuaciones x = - 1  y  x = 1.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

Aplicamos la siguiente propiedad:

Así, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Calculamos ahora el valor de n correspondiente:

De esta forma, la función tiene una asíntota oblicua que es la recta de ecuación y = x (bisectriz del primer cuadrante).

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a - ∞), para lo que aplicamos la siguiente propiedad:

Calculamos ahora el valor de n correspondiente:

Así, la función tiene una asíntota oblicua en - ∞ que es la recta de ecuación y = -x (bisectriz del segundo cuadrante).

Ejercicio 9.

Encuentra las asíntotas de la siguiente función:

Solución:

El dominio de la función lo formarán aquellos valores de x para los que x² – 4 ≥ 0. Resolviendo esta inecuación de segundo grado, se deduce que:

Dominio de f(x) = (- ∞, - 2] U [2, +∞).

Asíntotas verticales:

Como la función presenta discontinuidades (de segunda especie) en los puntos x = - 2 y x = 2, calculamos los límites laterales de la función que existen en dichos puntos:

Por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales:

Calculamos los límites de la función cuando x tiende a +∞ y a - ∞:

Así, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Calculamos el valor de n correspondiente:

Por tanto, tiene una asíntota oblicua en + ∞ que es la recta de ecuación y = x (bisectriz del primer cuadrante).

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a - ∞):

Calculamos el valor de n correspondiente:

Por tanto, tiene una asíntota oblicua en - ∞ que es la recta de ecuación y = - x (bisectriz del segundo cuadrante).

Ejercicio 10.

Considera la siguiente función:

a) Calcula las asíntotas de la función.

b) ¿Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto?

Solución:

a) Igualamos a cero el denominador y resolvemos la ecuación obtenida, para hallar los puntos que no pertenecen al dominio:

Las soluciones son x = - 1 y x = 3, y deducimos que el dominio de la función es R – {- 1, 3}.

Asíntotas verticales:

Calculamos los límites laterales en los puntos x = - 1 y x = 3:

De esta forma, la función tiene dos asíntotas verticales, cuyas ecuaciones son x = - 1 y x = 3.

Asíntotas horizontales:

Por tanto, no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas:

Si existen, son de la forma y = m x + n.

Calculamos el valor de m (cuando x tiende a + ∞):

Calculamos el valor de n correspondiente:

Si calculamos los valores de m y n cuando x tiende a - ∞ se obtienen los mismos valores. Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua que es la recta de ecuación y = x + 2.

b) La función no corta a las asíntotas verticales ya que no está definida en los puntos x = - 1 y x = 3.

Para ver si corta a la asíntota oblicua igualamos las ecuaciones de la función y de dicha asíntota:

Y resolvemos la ecuación obtenida:

Sustituyendo este valor de x en la ecuación de la asíntota, resulta que:

y = - 2/3 + 2 = 4/3

Por tanto, la función y su asíntota oblicua se cortan en el punto cuyas coordenadas son (-2/3, 4/3).