Problema 9.

Calcula el valor de a para que sea ortonormal la siguiente base de V²:

Solución:

Para que B sea una base ortonormal, los vectores que la forman han de ser unitarios (de módulo 1) y perpendiculares (su producto escalar ha de ser nulo).

Está claro que el módulo del primer vector es 1:

El módulo del segundo vector es:

Para que este módulo sea igual a 1, ha de cumplirse que:

25 a² = 4

a² = 4 / 25

Y por tanto:

Así, B será ortonormal si a = 2 / 5 ó a = - 2 / 5, pues es fácil comprobar que, en ambos casos, el producto escalar de los dos vectores de la base es igual a cero.

En efecto, si a = 2 / 5:

De la misma forma, si a = - 2 / 5:

Problema 8.

Consideramos la siguiente base de V²:

Esta base cumple las siguientes condiciones:

Dos vectores tienen respecto de la base B las siguientes coordenadas:

Calcula el producto escalar de estos dos vectores.

Solución:

Expresamos los vectores dados en función de los vectores de la base B:

Realizando el producto escalar de estos vectores, obtenemos:

Sustituyendo por sus valores los módulos de los vectores y su producto escalar, se deduce que:

Problema 7.

Dados A (-1, a), B (2, 0) y C (-1, - a), halla el valor de a para que el triángulo ABC sea equilátero.

Solución:

Para que el triángulo sea equilátero, sus tres lados han de tener la misma longitud y, por ello, deben tener el mismo módulo los tres vectores siguientes:

Hallamos las coordenadas de los tres vectores:

Calculamos sus módulos:

Para que los módulos de los tres sean iguales debe cumplirse que:

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación y se deduce que:

9 + a² = 4 a²

9 = 3 a²

a² = 3

Por tanto, a puede tomar los siguientes valores:

Problema 6.

Tenemos un vector que, respecto de la base canónica, es:

Calcula el valor de a para que las coordenadas de dicho vector sean (5, - 2) al expresarlo respecto de la base siguiente:

Solución:

Si las coordenadas del vector son (5, - 2) respecto de la base B, tenemos que:

Sustituyendo los vectores por sus coordenadas, deducimos que:

(a, - 19) = 5 · (- 1, - 3) – 2 · (- 3, 2)

(a, - 19) = (- 5, - 15) – (- 6, 4)

(a, - 19) = (1, - 19)

Por tanto, a = 1.

Problema 5.

Consideramos los vectores:

Resuelve el sistema de ecuaciones siguiente:

Solución:

Sumando las dos ecuaciones, obtenemos: 

Por tanto, resulta que:

Despejando en la segunda ecuación del sistema, se tiene que:

Problema 4.

Dados los siguientes vectores, expresa el primero como combinación lineal de los otros dos:

Solución:

Debemos encontrar dos números reales m y n tales que:

De esta forma:

(30, - 51) = m · (- 2, 5) + n · (4, - 6)

(30, - 51) =  (- 2 · m, 5 · m) + (4 · n, - 6 · n)

(30, - 51) =  (- 2 m + 4 n, 5 m – 6 n)

Igualando coordenadas, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Multiplicamos por 5 la primera ecuación y por 2 la segunda:

Sumamos las dos ecuaciones:

8 n = 48

Y despejamos el valor de n:    n = 6

Sustituimos este valor en la primera ecuación del sistema inicial:

- 2 m + 4 · 6 = 30

- 2 m = 30 – 24

- 2 m = 6

Y despejamos el valor de m:    m = - 3

Por tanto, deducimos que:

Problema 3.

Dados A (1, a) y B (5, 4), encuentra los valores de a para que la distancia entre los puntos A y B sea 5.

Solución:

Consideramos el vector:

La distancia entre los puntos A y B coincide con el módulo de este vector.

Calculamos dicho módulo:

Como la distancia entre A y B ha de ser igual a 5, deducimos la ecuación siguiente:

Para resolverla elevamos al cuadrado sus dos miembros y se tiene que:

a² – 8 a + 32 = 25

a² – 8 a + 7 = 0

Resolvemos esta ecuación de segundo grado:

Así pues, los valores que puede tomar a son a = 7 y a = 1.