Problema 1.

Descompón el número 14 en suma de tres números reales positivos tales que uno de ellos sea el doble del otro, y la suma de los cuadrados de los tres sea la menor posible.  

Solución:

Si x, y, z son los números buscados, las condiciones impuestas por el enunciado dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

La función que hay que minimizar es la siguiente:

S = x² + y² + z²

Despejando del sistema las demás incógnitas en función de x tenemos:

Sustituimos en la función S, los valores de z y de y obtenidos en función de la variable x:

S = x² + (2 x)² + (14 – 3x)² = x² + 4x² + 196 – 84x + 9x² = 14x² – 84x + 196

De esta forma, hemos conseguido que la función que hay que minimizar esté expresada en función de una sola variable y, por tanto, podemos derivar y  seguir  los pasos para obtener el valor mínimo.

Derivando la función S e igualando a cero, tenemos:

S´(x) = 28x – 84 = 0

28x = 84

x = 3

Con la derivada segunda comprobamos ahora si en este valor se alcanza un máximo o un mínimo de la función.

S´´(x) = 28

Como S´´ (3) = 28 >0,  se deduce que en x = 3 la función alcanza el mínimo, y sustituyendo el valor de x en las ecuaciones anteriores obtenemos que los números buscados son:

x = 3, y = 6, z = 5