jueves, 24 de marzo de 2016

Problema 3.

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.


 Solución:   

Llamamos:

 x = 1er cateto (base)

 y = 2º cateto (altura)

Se cumple que x + y = 4 y,  por tanto, y = 4 – x 

La función área que hay que optimizar es: 


Si la expresamos en función de una sola variable, resulta:


La derivada de dicha función es  A´(x) = 2 – x.

Igualamos a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos:

A´ (x) = 0 2 - x = 0  en x = 2 hay posible máximo ó mínimo de la función 

Hallamos la 2ª derivada:  A´´ (x) = - 1

Sustituimos el posible máximo ó mínimo en dicha derivada:

A´´ (2) = - 1 < 0 , luego en x = 2 se alcanza un máximo

Como y = 4 – x, resulta  y = 4 – 2 = 2 cm.

Calculamos el área para estos valores de x e y:

A (2) = 4 – 4 / 2 = 4 – 2 = 2, y así, el área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm2.

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