Calcula el área máxima que puede tener un
triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale
4 cm.
Solución:
Llamamos:
x = 1er cateto (base)
y
= 2º cateto (altura)
Se
cumple que x + y = 4 y, por tanto, y = 4 – x
La
función área que hay que optimizar es:
Si
la expresamos en función de una sola variable, resulta:
La
derivada de dicha función es A´(x) = 2 –
x.
Igualamos
a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos:
A´ (x)
= 0 ⇒ 2
- x = 0 ⇒ en
x = 2 hay posible máximo ó mínimo de la función
Hallamos
la 2ª derivada: A´´ (x) = - 1
Sustituimos
el posible máximo ó mínimo en dicha derivada:
A´´
(2) = - 1 < 0 , luego en x = 2 se alcanza un máximo
Como
y = 4 – x, resulta y = 4 – 2 = 2 cm.
Calculamos
el área para estos valores de x e y:
A (2)
= 4 – 4 / 2 = 4 – 2 = 2, y así, el área máxima que puede tener el triángulo
rectángulo es de 2 cm2.
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