Problema 4.8.

Dado cierto número de cuatro cifras, si lo dividimos entre 7 se obtiene como resultado el mismo número que resulta al eliminar la cifra de las centenas en el número dado inicialmente.

¿Cuál es ese número inicial?

Solución:

Sea abcd dicho número, donde a es distinto de cero.

Si le quitamos la cifra de las centenas, queda el número acd. Y, según las condiciones indicadas en el enunciado, si multiplicamos este número de 3 cifras por 7, hemos de obtener el número inicial. Por tanto:

7·acd = abcd

7·(100 a + 10 c + d) = 1000 a + 100 b + 10 c + d

700 a + 70 c + 7 d = 1000 a + 100 b + 10 c + d

700 a + 7·(10 c + d) = 1000 a + 100 b + (10 c + d)

6·(10 c + d) = 300 a + 100 b

(10 c + d) = (300 a + 100 b)/6 = 50 a + 50 b/3

(10 c + d) = 50·(a + b/3)

Como a, b, c y d son dígitos, comprendidos entre 0 y 9, el número 10 c + d tiene dos cifras. 

Y, por tanto, a + b/3 ha de ser menor que dos; pero como a es distinto de cero, necesariamente debe cumplirse que a = 1 y b = 0.

Entonces, 10 c + d = 50·(1 + 0) = 50. Esto es equivalente a que d = 50 – 10 c = 10·(5 – c). 

Pero como d tiene una única cifra, necesariamente debe ser 5 – c = 0, de lo que deducimos que c = 5 y d = 0.

Así, el número de cuatro cifras inicial es el 1050.