Se
llama sucesión de Fibonacci aquella cuyos términos vienen definidos mediante la
expresión an = an-1 + an-2, considerando que a0=0
y a1=1.
Calculamos
los 15 primeros términos de esta sucesión: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, 233, 377.
Si
sumas los diez primeros obtienes 88=11·8 = 11·séptimo sumando
Si
sumas desde el término 2º hasta el 11º obtienes 143 = 11·13 =
= 11·séptimo sumando
Si
sumas desde el término 3º hasta el 12º obtienes
231 = 11·21=
= 11·séptimo sumando
Si
sumas desde el término 4º hasta el 13º obtienes
374 = 11·34=
= 11·séptimo sumando
¿Se
puede generalizar este hecho y afirmar que la suma de diez términos
consecutivos cualesquiera de esta sucesión es un múltiplo de 11?
Solución:
Suponemos
diez términos consecutivos cualesquiera de la sucesión; su suma es:
S = an + an+1
+ an+2 + an+3 + an+4 + an+5 + an+6
+ an+7 + an+8 + an+9
Utilizando
la definición de la sucesión, podemos expresar cada uno de los diez términos en
la forma siguiente:
an
an+1
an+2 = an
+ an+1
an+3 = an+1 + an+2 =
an+1 + an + an+1 = an + 2an+1
an+4 = an+2 + an+3 =
an + an+1 + an + 2an+1 = 2 an + 3an+1
an+5 = an+3 + an+4 = an + 2an+1 + 2 an
+ 3an+1 = 3 an +
5an+1
an+6 = an+4 + an+5 = 2 an + 3an+1 + 3 an
+ 5an+1 = 5 an +
8an+1
an+8 = an+6 + an+7 = 5 an + 8an+1 + 8 an
+ 13an+1 = 13 an +
21an+1
an+9 = an+7 + an+8 = 8 an + 13an+1 + 13 an
+ 21an+1 = 21 an +
34an+1
Utilizando
estas expresiones, tenemos que:
S = an + an+1 + an + an+1
+ an + 2an+1 + 2 an + 3an+1 + 3 an
+ 5an+1 +
+ 5 an + 8an+1
+ 8 an + 13an+1 + 13 an + 21an+1 +
21 an + 34an+1 =
= an·(1+1+1+2+3+5+8+13+21)
+ an+1·(1+1+2+3+5+8+13+21+34) =
= 55an + 88an+1
= 11·(5an + 8an+1)
Queda
demostrado, por tanto, que dicha suma es múltiplo de 11.
Se
observa, además, que el factor que se multiplica por 11 es an+6, tal
y como se ve en las descomposiciones anteriores.
Luego
también queda demostrado que la suma es
el producto de 11 por el término séptimo de la suma.
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