Ejercicios resueltos de la recta en el plano II.

Ejercicio 1.

Encuentra la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto A (-1, 3).

Solución:

El haz estará formado por las infinitas rectas que pasan por el punto A, y cada una de ellas tendrá una pendiente distinta m. Por tanto, utilizando la ecuación punto-pendiente, concluimos que la ecuación del haz es:

y – 3 = m · (x + 1), con m Є R

Ejercicio 2.

Encuentra la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta cuya ecuación es r : y = 5 x – 3.

Solución:

El haz estará formado por las infinitas rectas que tienen la misma pendiente que r. Por tanto, utilizando la ecuación explícita, concluimos que la ecuación del haz es:

y = 5 x + C, con C Є R

Ejercicio 3.

Encuentra la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta cuya ecuación es r : 5x – 2 y + 6 = 0.

Solución:

El haz estará formado por las infinitas rectas que tienen la misma pendiente que r. Por tanto, pueden tener el mismo vector director y el mismo vector normal que r, con lo que si utilizamos la ecuación general, concluimos que la ecuación del haz es:

5x – 2 y + C = 0, con C Є R

Ejercicio 4.

Encuentra la ecuación del haz al que pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son r: y = 3x – 2  y  s: y = 4 x – 4.

Solución:

Las rectas r y s tienen pendientes distintas por lo que son secantes. De esta forma, el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el punto en el que se cortan r y s.

Calculamos dicho punto de corte, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas:

Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación del sistema, obtenemos que y = 6 – 2 = 4.

Por tanto el punto en el que se cortan r y s es A(2, 4). Y el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el punto A.

De esta forma, utilizando la ecuación punto-pendiente deducimos que la ecuación del haz es:

y – 4 = m · (x – 2), con m Є R

Ejercicio 5.

Encuentra la ecuación del haz al que pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son:

r: y = 2x – 3    y    s: 2 x – y + 5 = 0

Solución:

Si expresamos la ecuación de r en su forma general tenemos que:

r : 2 x – y – 3 = 0

Se observa fácilmente que r y s son paralelas. Por tanto, la ecuación del haz, formado por todas las rectas paralelas a r y s, es:

2 x – y + C = 0, con C Є R

Ejercicio 6.

Encuentra la ecuación del haz al que pertenecen las rectas cuyas ecuaciones son: 

Solución:

El vector director de la recta s es el de coordenadas (2, 6), por lo que la pendiente de esta recta es m = 6/2 = 3.

Como la pendiente de r es m´= 4, ambas rectas tienen pendientes distintas y entonces son secantes.

Así, el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el punto en el que se cortan r y s.

Calculamos dicho punto de corte, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas, para lo que previamente encontramos la ecuación general de s.

Despejamos el valor de λ de las ecuaciones paramétricas e igualamos las expresiones obtenidas:

Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones de las rectas r y s:

Sustituyendo este valor de x en la primera ecuación del sistema, deducimos que y = - 1, por lo que el punto en el que se cortan r y s es A (1, - 1).

Así, el haz que buscamos es el de las rectas que pasan por el punto A, cuya ecuación es:

y + 1 = m · (x – 1), con m Є R

Ejercicio 7.

Calcula el ángulo que forman las dos rectas siguientes:

r: x + 2y – 3 = 0

s: (x, y) = (1, 2) + µ (2, - 3)

Solución:

Como vector director de la recta r podemos tomar el de coordenadas (- 2, 1). Y el vector director de s el de coordenadas (2, -3).

Como estos vectores no son proporcionales, las rectas no tienen la misma dirección y, por tanto, son secantes.

El ángulo α que forman las rectas es el mismo que forman sus vectores directores. Así, tenemos que:

De esta forma, el ángulo buscado es:

α = arc cos 0,868 = 29,73^o

Ejercicio 8.

Si r es la recta de ecuación 3x + y + 4 = 0 y s es una recta cuyo vector director es el de coordenadas (m, - 2), halla el valor o valores de m para que las rectas formen un ángulo de 45^o.

Solución:

Como vector director de r podemos tomar el de coordenadas (1, - 3).

Por tanto hemos de calcular el  valor de m para el que los vectores (1, -3) y (m, -2) forman un ángulo de 45^o.

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

Multiplicamos en cruz:

Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

m² – 3 m – 4 = 0

Resolvemos la ecuación:

Así, m puede tomar los valores m = 4 y m = - 1.

Ejercicio 9.

Calcula la distancia entre los puntos A (6, -2) y B (-2, 5).

Solución:

Calculamos las coordenadas del vector de origen A y extremo B:

(- 2, 5) – (6, - 2) = (- 8, 7)

La distancia entre A y B es el módulo de este vector. Por tanto, tenemos que:

Ejercicio 10.

Halla el valor o valores de m para que la distancia entre los puntos de coordenadas A (2, 4) y B (8, m) sea 10.

Solución:

Las coordenadas del vector de origen A y extremo B son:

(8, m) – (2, 4) = (6, m – 4)

El módulo del vector será 10 si se cumple que:

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación:

36 + m² + 16 - 8 m = 100

m ² - 8 m – 48 = 0

Resolvemos la ecuación:

Por tanto, m puede tomar los valores m = 12 y m = - 4.

Ejercicio 11.

Calcula la distancia del punto A (- 3, 7) a la recta r : y = 4 x – 9.

Solución:

Expresamos la ecuación de la recta en su forma general:

4 x – y – 9 = 0

La distancia de A a la recta es:

Ejercicio 12.

Halla el valor de m para que la distancia del punto A (m, -2) a la recta de ecuación y = 5 x + 1 sea 3.

Solución:

Expresamos la ecuación de la recta en su forma general:

5 x – y + 1 = 0

La distancia de A a la recta es:

Por tanto:

Tenemos pues dos valores de m que se deducen de la forma siguiente:

a)

b) 

Distancias en el plano.

Vamos a definir a continuación las distancias entre los diversos elementos del plano:

I. Distancia entre dos puntos.

II.Distancia de un punto a una recta.

III.Distancia entre dos rectas.

Distancia entre dos puntos.

Dados dos puntos A y B, llamamos distancia de A a B al módulo del vector de origen A y extremo B. Así, si las coordenadas de los puntos son A(a₁, a₂) y B(b₁, b₂), tenemos que: 

Ejemplo:

Dados los puntos A (-1, 2) y B (2, 2), veamos cuál es la distancia entre ellos:

El vector de origen A y extremo B es el de coordenadas (3, 0). Luego:

A partir de la definición dada, podemos observar las siguientes propiedades:

1. d (A, B) = d (B, A) ya que el módulo del vector de origen A y extremo B es el mismo que el del vector de origen B y extremo A.

2. d (A, B) = 0 Û A = B.

En efecto:

·      Si A = B, el vector de origen A y extremo B es el vector nulo, cuyo módulo es cero y, por tanto, d (A, B) = 0.

·      Si d (A, B) = 0, tenemos que el módulo del vector de origen A y extremo B es cero, por lo que este es el vector nulo. 

  Es decir, que (b₁ – a₁, b₂ – a₂) = (0, 0), lo que implica que:

b₁ – a₁ = 0  y  b₂ – a₂ = 0 ⟺ b₁ = a₁  y  b₂ = a₂

  Pero esto supone que A = B.

3. d (A, B) £ d (A, C) + d (C, B)  (desigualdad triangular)

Distancia de un punto a una recta.

Dada una recta r y un punto P exterior a ella, definimos la distancia del punto P a la recta r, como la distancia del punto P al punto M de r, donde M es el punto intersección de r y s, siendo s la recta perpendicular a r que pasa por P.

La distancia del punto P (a, b) a la recta  r: A · x + B · y + C = 0 tiene como expresión analítica:

Pero podemos obtener la distancia entre P y r siguiendo el proceso dado en la definición sin aplicar la expresión anterior. Es decir, hallamos la ecuación de la recta s, perpendicular a r y que pase por P. Calculamos el punto M, en el que se cortan r y s. La distancia entre P y r coincidirá con la distancia entre los puntos P y M.

Ejemplo:

Calculemos la distancia entre el punto P (5, - 1) y la recta cuya ecuación es r : 3 x – 4 y + 2 = 0.

Distancia entre dos rectas.

Dadas dos rectas r y r´, paralelas, definimos la distancia entre r y r´, como la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta.

De forma clara si dos rectas r y r´ se cortan en un punto o son coincidentes entonces la distancia entre ellas es 0.

Veamos qué expresión analítica podemos obtener en este caso, a partir de la distancia de un punto a una recta, obtenida anteriormente.

Sean r: A · x + B · y + C = 0 y r´: A · x + B · y + C´= 0 dos rectas paralelas.

d (r, r´) = d (P, r´) con P (a, b) Î r

Si P Πr, tenemos que A · a + B · b + C = 0. Y, por tanto, se cumple que:

 A · a + B · b = - C

Aplicando ahora la expresión de la distancia al punto P y a r’:

Ejemplo:

Veamos cual es la distancia entre las rectas siguientes: 

r: 2 x - 4 y + 4 = 0     y      r’: x – 2 y + 5 = 0

En primer lugar vemos su posición relativa.

Realizando los cocientes entre los coeficientes de las incógnitas en la ecuación general obtenemos: 

Por tanto, las rectas son paralelas, y para poder aplicar la expresión anterior, deben de tener los coeficientes A y B iguales. Simplificando en r, dividiendo la ecuación por 2, tenemos que:

r: x - 2 y + 2 = 0     y      r’: x - 2y + 5 = 0

Y la distancia entre las rectas es: 

Otra forma de resolver este ejercicio sería tomar un punto de una de las rectas y calcular la distancia de dicho punto a la otra recta. 

Por ejemplo, si damos a y el valor 1 en la ecuación de la recta r, deducimos que el punto A (0, 1) pertenece a r. Y ahora calculamos la distancia entre r y r´ como la distancia entre el punto A y la recta r´.

La recta en el plano II.

Haz de rectas en el plano.

Ángulo de dos rectas en el plano.

Distancias en el plano.

Ejercicios resueltos de la recta en el plano II.

Ángulo de dos rectas en el plano.

Sabemos que dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas y secantes. Como los vectores directores son vectores libres, las rectas paralelas y coincidentes forman ángulos de 0º.

Vamos a estudiar a continuación el ángulo que forman dos rectas secantes.

Llamamos ángulo de dos rectas r y s al menor  de los ángulos que forman sus vectores directores.

Como vemos en la figura, dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos, iguales dos a dos, y por este motivo se especifica en la definición, que el ángulo será el menor de los dos ángulos distintos que se forman.

Si u y v son los vectores directores de las rectas r y s, el ángulo que forman las rectas es el ángulo comprendido entre los vectores u y v. Por tanto, el ángulo α que forman r y s lo calculamos con la fórmula siguiente, utilizando el producto escalar de vectores:

Pero puede ocurrir que el ángulo α hallado mediante esta expresión sea mayor de 90^o. Y entonces, el ángulo formado por las rectas no es α sino su suplementario 180^o – α.

Esto ocurrirá cuando el valor obtenido del coseno sea negativo, y este signo viene dado por el resultado del producto escalar. Por tanto, para no depender del signo del producto escalar, y obtener directamente el ángulo menor, podemos utilizar la siguiente expresión:

Ejemplo:

Vamos a calcular el ángulo que forman las rectas siguientes:

r: y = x + 2     y     s: 3 x + 4 y = 0

Como la pendiente de r es m = 1, el vector (1, 1) sería director de dicha recta.

Como (3, 4) es normal a la recta r, el vector (- 4, 3) es director de dicha recta.

Por tanto, el ángulo α formado por r y s es que forman los vectores (1, 1) y (- 4, 3). Así:

Así, el ángulo que forman r y s es:

Una vez estudiado el ángulo de dos rectas, es fácil ver qué condición deben cumplir dos rectas para ser perpendiculares.

Dos rectas serán perpendiculares cuando lo sean sus vectores directores.

Consideramos dos rectas secantes r y s, cuyas ecuaciones son:

r : A · x + B · y + C = 0 y  s : A´· x + B´· y + C´= 0

Sus vectores directores son (- B, A) y (- B´, A´) respectivamente.

Por ello, la pendiente de r es m = - A/B y la de s es m´= - A´/B´.

Si son perpendiculares, también lo son sus vectores directores y, de la misma forma, son perpendiculares sus vectores normales. Entonces, se cumple que A·A´+ B·B´= 0

Si sumamos (-B·B´) en ambos miembros obtenemos que A·A´= -B·B´.

Dividimos los dos miembros por – A´B:

Por tanto, dos rectas son perpendiculares, si sus pendientes son inversas y opuestas.

Ejemplo:

Hallemos el valor de a para que sean perpendiculares las rectas r y s siguientes:

r: a x + 4 y – 5 = 0    y     s: 3 x – 7 y – 4 = 0

Los vectores (- 4, a) y (7, 3) son directores de r y s, respectivamente. Por tanto, la pendiente de r es m = - a/4 y la pendiente de s es m´= 3/7.

m = - 1/m´ ⟺ - a/4 = - 7/3 ⟺ - 3 a = - 28 ⟺ a = 28/3