sábado, 17 de febrero de 2018

Posición relativa de dos rectas en el plano.

Para tratar este apartado recordamos lo siguiente:

- Dos vectores v y v´son paralelos cuando sus componentes son proporcionales.

-    Dos rectas r y r´ son paralelas si lo son sus vectores directores.

-      Dos rectas r y r´ son paralelas si tienen la misma pendiente.

Dadas dos rectas r: A·x + B·y + C = 0 y r´: A´·x + B´·y + C´= 0, tratamos de determinar si estas dos rectas son paralelas, coincidentes o se cortan. 

Para ello resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de ambas:


Podemos encontrar los casos siguientes:

a)El sistema tiene una solución única, (x0, y0). Esto indica que las rectas son secantes y se cortan en un punto que tendrá como coordenadas  la solución del sistema.


Si las rectas son secantes, no son paralelas y, por tanto, sus pendientes son distintas y sus vectores directores no son proporcionales. Es decir:


b)El sistema no tiene solución y, por tanto, las rectas no tienen puntos en común y son paralelas.



Al ser paralelas, sus pendientes son iguales y sus vectores directores proporcionales. Es decir:


c)El sistema tiene infinitas soluciones, lo que implica que las rectas son coincidentes y que todos sus puntos son soluciones del sistema.


Si son coincidentes, sus pendientes y ordenadas en el origen son iguales. Es decir:


Ejemplo:

Estudiamos la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

a) Sean  r: 2x - 4y = 8  y  r’ : 3 x -6y +5 = 0

Como sus ecuaciones están en la forma general, realizaremos los cocientes de sus coeficientes:


Observamos que estas rectas son paralelas.

b) Sean:


Si pasamos sus ecuaciones a la forma explícita, obtenemos:


Como podemos ver, m = m´ y  b = b`. Por tanto, las rectas son coincidentes.

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