Para tratar este
apartado recordamos lo siguiente:
- Dos
vectores v y v´son paralelos cuando sus componentes son proporcionales.
- Dos
rectas r y r´ son paralelas si lo son sus vectores directores.
-
Dos
rectas r y r´ son paralelas si tienen la misma
pendiente.
Dadas dos rectas r: A·x + B·y + C = 0 y r´: A´·x +
B´·y + C´= 0, tratamos de determinar si estas dos rectas son paralelas,
coincidentes o se cortan.
Para ello resolvemos el sistema formado por las
ecuaciones de ambas:
Podemos encontrar los casos siguientes:
a)El sistema tiene una solución única, (x0,
y0). Esto indica que las rectas son secantes y se cortan en un punto que tendrá
como coordenadas la solución del
sistema.
Si las rectas son secantes, no son paralelas y, por
tanto, sus pendientes son distintas y sus vectores directores no son
proporcionales. Es decir:
b)El
sistema no tiene solución y, por tanto, las rectas no tienen puntos en común y
son paralelas.
Al ser paralelas, sus pendientes son iguales y sus
vectores directores proporcionales. Es decir:
c)El sistema tiene infinitas soluciones, lo que
implica que las rectas son coincidentes y que todos sus puntos son soluciones
del sistema.
Si son coincidentes, sus pendientes y ordenadas en
el origen son iguales. Es decir:
Ejemplo:
Estudiamos la posición relativa de los siguientes
pares de rectas:
a) Sean r: 2x
- 4y = 8 y r’ : 3 x -6y +5 = 0
Como sus ecuaciones están en la forma general,
realizaremos los cocientes de sus coeficientes:
Observamos que estas rectas son paralelas.
b) Sean:
Si pasamos sus ecuaciones a la forma explícita,
obtenemos:
Como podemos ver, m = m´ y b = b`. Por tanto, las rectas son
coincidentes.
