Ejercicio de representación gráfica de una función (trigonométrica I)

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

f(x) = sen (2x)

Solución:

Dominio: la función seno está definida en todos los números reales, por lo que su dominio es R. Además, como el valor del seno de un ángulo varía entre – 1 y 1, sabemos que su imagen será el intervalo [- 1, 1].

Periodicidad: la función sen x es periódica de periodo 2π, por lo que esta función también es periódica y calculamos su periodo:

2 x = 2 π ;    x = π

Luego la función es periódica de periodo π. De esta forma, la podemos estudiar en el intervalo [0, π].

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = 0 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, 0).

Si f(x) = 0, resulta que sen (2 x) = 0. Resolvemos esta ecuación:

2 x = 0 ó  2 x = π

x = 0 ó x = π/2

Por tanto, la gráfica corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (0, 0) y (π/2, 0).

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje de abscisas y que, al ser periódica, estudiamos la función en el intervalo [0, π], obtenemos los intervalos siguientes:

 (0, π/2) y (π/2, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(π/4) = sen (π/2) = 1 > 0

f(3π/4) = sen (3π/2)= - 1 < 0

Así, f(x)> 0 en (0, π/2) y f(x)< 0 en (π/2, π).

Simetrías:

f(- x)= sen (- 2 x) = - sen (2 x) = - f(x)

Luego la función presenta simetría impar.

Asíntotas:

La función seno no tiene asíntotas ya que está definida en todo R y, además, es continua y periódica, oscilando su imagen siempre entre – 1 y 1.

Intervalos de monotonía:

f´(x) = 2 cos (2 x)

Resolvemos la ecuación 2 cos (2 x)= 0:

cos (2 x) = 0

2x = π/2 ó  2x = 3π/2

x = π/4 ó x = 3π/4

Así se obtienen los intervalos siguientes:

(0, π/4), (π/4, 3π/4) y (3π/4, π)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

Por tanto:

La función es estrictamente decreciente en (π/4, 3π/4).

Y es estrictamente creciente en (0, π/4) U (3π/4, π).

Extremos relativos:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´(x) = 0.

Son x = π/4 y x = 3π/4.

Hallamos la imagen de estos valores mediante la segunda derivada:

f´´(x) = 2 · 2[- sen (2 x)]= - 4 sen (2 x)

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2) = - 4 < 0   

    

f´´(3π/4) = - 4 sen (3 π/2) = 4 > 0

 Por tanto:

(π/4, f(π/4))= (π/4, 1) es máximo relativo

(3π/4, f(3π/4)) = (3π/4, - 1) es mínimo relativo

Intervalos de curvatura:

Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

- 4 sen (2x)= 0

sen (2x)= 0

2x = 0 ó 2x = π

x = 0 ó x = π/2

Quedan determinados los intervalos (0, π/2) y (π/2, π).

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(π/4) = - 4 sen (π/2)= - 4 < 0  

f´´(3π/4) = - 4 sen (3π/2)= 4 > 0

Así, f(x) es convexa en el intervalo (0, π/2) y es cóncava en (π/2, π).

Puntos de inflexión:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´´(x) = 0.

Son x = 0 y x = π/2.

Sustituimos estos valores de x en f´´´(x):

f´´´(x)= - 4 · 2 cos (2x)= - 8 cos (2x)

f´´´(0)= - 8·1 ≠ 0

f´´´(π/2)= - 8·(- 1)= 8 ≠ 0

Así, los puntos (0, f(0))  y (π/2, f(π/2))  son puntos de inflexión. 

Es decir, los puntos

(0, f(0))= (0, 0)

(π/2, f(π/2))= (π/2, 0)

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función:

Ejercicio de representación gráfica de una función (polinómica 2).

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

f(x) = x³ – 3 x + 2

Solución:

Dominio: al tratarse de una función polinómica, su dominio es el conjunto de todos los números reales, R.

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = 2 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2).

Si f(x) = 0, resulta que x³ – 3 x + 2 = 0. Resolvemos esta ecuación, para lo que utilizamos la regla de Ruffini:

Ya tenemos que x = 1 es una solución de la ecuación. Ahora resolvemos la ecuación de segundo grado que se obtiene con el cociente en la regla de Ruffini para obtener el resto de soluciones:

x² + x – 2 = 0

Las soluciones de esta ecuación son x = 1 (que resulta una solución doble) y x = - 2.

Por tanto, que la gráfica corta al eje de abscisas en los puntos de coordenadas (1, 0) y (- 2, 0).

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta los puntos de corte con el eje de abscisas, obtenemos los intervalos siguientes:

(- ∞, - 2), (- 2, 1) y (1, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(- 3) = - 16 < 0; f(0) = 2 > 0; f(2) = 4 > 0

Así, f(x)> 0 en (- 2, 1)U(1, + ∞) y f(x)< 0 en (- ∞, - 2).

Simetrías:

f(- x)= - x³ + 3 x + 2

Así, f(- x)≠ f(x) y f(- x)≠ - f(x), por lo que la función no es par ni impar.

Asíntotas:

Como el  dominio es R no tiene asíntotas verticales.

Tampoco tiene asíntotas horizontales (y presenta ramas parabólicas) ya que:

Tampoco tiene asíntotas oblicuas pues:

Intervalos de monotonía:

f´(x) = 3 x² – 3 = 0

3 x² = 3

x² = 1

Las soluciones son x = - 1 y x = 1.

Así se obtienen los intervalos siguientes:

(- ∞,- 1), (- 1, 1) y (1, +∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

f´(- 2) = 9 > 0

f´(0) = - 3 < 0

f´(2) = 9 > 0

Por tanto:

La función es estrictamente decreciente en (- 1, 1).

Y es estrictamente creciente en (- ∞,- 1) U (1, +∞).

Extremos relativos:

Consideramos las soluciones de la ecuación f´(x) = 0.

Son x = - 1 y x = 1.

Hallamos la imagen de estos valores mediante la segunda derivada:

f´´(x) = 6 x

f´´(- 1) = - 6 < 0     y     f´´(1) = 6 > 0

Por tanto:

(1, f(1)) = (1, 0) es mínimo relativo

(- 1, f(- 1)) = (- 1, 4) es máximo relativo

Intervalos de curvatura:

Resolvemos la ecuación f´´(x) = 0.

6 x = 0

x = 0

Quedan determinados los intervalos (-∞, 0) y (0, + ∞).

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(- 1) = - 6 < 0   y   f´´(1) = 6 > 0

Así, f(x) es convexa en el intervalo (-∞, 0) y es cóncava en (0, + ∞).

Puntos de inflexión:

Consideramos la solución de la ecuación f´´(x) = 0.

Es x = 0.

Sustituimos este valor de x en f´´´(x):

f´´´(x)= 6

f´´´(0)= 6 ≠ 0

Por tanto, el punto (0, f(0)) es un punto de inflexión.

Es decir, el punto de inflexión es (0, 2).

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función:

Ejercicios resueltos de representación gráfica de funciones.

Función polinómica 1.

Función polinómica 2.

Función racional 1.

Función racional 2.

Función trigonométrica 1.

Ejercicio de representación gráfica de una función (racional 2).

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

Solución:

Dominio: al tratarse de una función racional, su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

x² – 4 = 0

x = 2 y x = - 2

Por tanto, Dom f = R – {- 2,2}.

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = - 1/4 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, - 1/4).

Si f(x) = 0, resulta que la ecuación obtenida no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no corta al eje de abscisas.

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo en cuenta que no hay puntos de corte con el eje de abscisas, obtenemos los intervalos con los puntos que no pertenecen al dominio. Es decir:

(- ∞, - 2), (- 2, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(- 3) = 1/5 > 0, f(0) = - 1/4 < 0 y f(3) = 1/5 > 0

Así, f(x)> 0 en (- ∞, - 2)U(2, + ∞) y f(x)< 0 en (- 2, 2).

Simetrías:

Así, f(- x)= f(x) por lo que la función es par.

Asíntotas:

Como el  dominio es R – {- 2, 2}, vemos la existencia de asíntotas verticales:

Por tanto, las rectas x = - 2 y x = 2 son asíntotas verticales de la función.

Estudiamos ahora la existencia de asíntotas horizontales:

Así, la recta y = 0 es asíntota horizontal.

No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal.

Intervalos de monotonía:

Si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación que se obtiene tiene como solución x = 0.

Así se obtienen los intervalos que determinan los valores de x que no pertenecen al dominio y x = 0. Es decir:

(- ∞,- 2), (- 2, 0), (0, 2) y (2, +∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

f´(- 3) = 6/25 > 0

f´(- 1) = 2/9 > 0

f´(1) = - 2/9 < 0

f´(3) = - 6/25 < 0

De esta forma:

f(x) es estrictamente creciente en (- ∞,- 2)U(- 2, 0).

f(x) es estrictamente decreciente en (0, 2)U(2, + ∞).

Extremos relativos:

Hemos visto en el punto anterior que si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación tiene como solución x = 0.

Calculamos la derivada segunda de la función:

Y calculamos la imagen de x = 0:

f´´(0) = - 8/64 = - 1/8 < 0

Por tanto, en x = 0 se alcanza un máximo relativo.

El máximo relativo es el punto (0, f(0))= (0, - 1/4).

Intervalos de curvatura:

Igualamos a cero la segunda derivada de la función:

Esta ecuación no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no tiene puntos de inflexión. Así, los intervalos de curvatura quedan determinados por los valores de x que no pertenecen al dominio. Es decir:

(-∞, - 2), (- 2, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(-3) = 62/125 >0, f´´(0) = -1/8 <0 y f´´(3) = 62/125 >0

Por tanto:

 f(x) es convexa en (-∞, - 2)U(2, + ∞) y es cóncava en (- 2, 2)

Puntos de inflexión:

Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene puntos de inflexión.

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función:

Ejercicio de representación gráfica de una función (racional 1)

Haz el estudio local de la función siguiente y represéntala gráficamente:

Solución:

Dominio: al tratarse de una función racional, su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

x – 2 = 0

x = 2

Por tanto, Dom f = R – {2}.

Puntos de corte con los ejes:

Si x = 0, f(0) = - 1 y, por tanto, la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto (0, - 1).

Si f(x) = 0, resulta que la ecuación obtenida no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no corta al eje de abscisas.

Regiones de existencia (o intervalos de signo constante):

Teniendo que no hay puntos de corte con el eje de abscisas, obtenemos los intervalos con los puntos que no pertenecen al dominio. Es decir:

(- ∞, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen:

f(0) = - 1 < 0 y f(3) = 2 > 0

Así, f(x)> 0 en (2, + ∞) y f(x)< 0 en (- ∞, 2).

Simetrías:

Así, f(- x)≠ f(x) y f(- x)≠ - f(x), por lo que la función no es par ni impar.

Asíntotas:

Como el  dominio es R – {2}, vemos la existencia de asíntotas verticales:

Por tanto, la recta x = 2 es asíntota vertical de la función.

Estudiamos ahora la existencia de asíntotas horizontales:

Así, la recta y = 0 es asíntota horizontal.

No tiene asíntotas oblicuas ya que tiene asíntota horizontal.

Intervalos de monotonía:

Si hacemos f´(x)= 0, resulta que la ecuación que se obtiene no tiene solución y, por tanto, la función no tiene extremos relativos (ni máximos ni mínimos).

Así se obtienen los intervalos que determinan los valores de x que no pertenecen al dominio. Es decir:

(- ∞,2) y (2, +∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y hallamos su imagen mediante la función derivada:

f´(0) = - 1/2 < 0

f´(3) = - 2 < 0

Así, la función es estrictamente decreciente en los dos intervalos.

Extremos relativos:

Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

Intervalos de curvatura:

Calculamos la segunda derivada de la función:

Si hacemos f´´(x) = 0, resulta una ecuación que no tiene solución y, de esta forma, se deduce que la función no tiene puntos de inflexión. Así, los intervalos de curvatura quedan determinados por los valores de x que no pertenecen al dominio. Es decir:

(-∞, 2) y (2, + ∞)

Tomamos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada:

f´´(0) = - 1/2 < 0   y   f´´(3) = 4 > 0

Así, f(x) es convexa en el intervalo (-∞, 2) y es cóncava en (2, + ∞).

Puntos de inflexión:

Ya hemos visto en el punto anterior que la función no tiene puntos de inflexión.

Con todos los datos obtenidos, ya podemos dibujar la gráfica de la función: