jueves, 24 de marzo de 2016

Problema 4.

Se quiere vallar una parcela rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 80 €/m y la de los otros lados a 10 €/m, halla el área de la mayor parcela rectangular que puede cercarse con 28800 euros. 


Solución:

Sea x la longitud del lado del camino e y la del otro lado.

La relación entre las variables es:

80 x + 10 x + 2·10 y = 90 x + 20 y = 28800

9 x + 2 y= 2880  y = 1440 – 4,5x

La función área que vamos a optimizar es:

A(x, y) = x·y  A(x) = x·(1440 – 4,5 x) = 1440 x – 4,5 x2

Derivamos:  A´(x) = 1440 – 9x

Igualamos a cero:  A´(x) = 0  1440 – 9x = 0  en x = 160 hay un posible máximo o mínimo

Hallamos la segunda derivada:  A´´ (x) = - 9

Como A´´ (160) = - 9 < 0 , en x = 160 se alcanza un máximo.

Si x = 160, resulta que  y = 1440 – 4,5·160 = 720.

El área de la mayor parcela que se puede cercar con 28800 € es:

A (160,720) = = 115.200 m2

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