Se quiere vallar una parcela rectangular que
está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta a 80 €/m y la de
los otros lados a 10 €/m, halla el área de la mayor parcela rectangular que
puede cercarse con 28800 euros.
Solución:
Sea
x la longitud del lado del camino e y la del otro lado.
La
relación entre las variables es:
80
x + 10 x + 2·10 y = 90 x + 20 y = 28800
9
x + 2 y= 2880 ⇒ y
= 1440 – 4,5x
La
función área que vamos a optimizar es:
A(x,
y) = x·y ⇒ A(x)
= x·(1440 – 4,5 x) = 1440 x – 4,5 x2
Derivamos:
A´(x) = 1440 – 9x
Igualamos
a cero: A´(x) = 0 ⇒ 1440 – 9x = 0 ⇒ en x = 160 hay un posible máximo o
mínimo
Hallamos
la segunda derivada: A´´ (x) = - 9
Como
A´´ (160) = - 9 < 0 , en x = 160 se alcanza un máximo.
Si x
= 160, resulta que y = 1440 – 4,5·160 = 720.
El
área de la mayor parcela que se puede cercar con 28800 € es:
A
(160,720) = = 115.200 m2
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