Problema 8.

Un mayorista desea comprar dos tipos de ordenadores: los del tipo A le cuestan 300 euros cada uno y los del tipo B 500 euros la unidad. Dispone de 7000 euros para hacer la compra y en su almacén solo tiene espacio para 20 ordenadores. En la venta posterior de cada ordenador obtendrá una ganancia del 30% del precio de compra.

¿Cuántos ordenadores de cada tipo debe adquirir para que el beneficio que obtenga al venderlos sea máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?

Solución:

Sean  x = nº de ordenadores del tipo A, y = nº ordenadores del tipo B.

El número de cada tipo de ordenador ha de ser un número mayor o igual que cero. Y añadiendo los límites establecidos por el dinero disponible para la compra y por el espacio del almacén, se obtienen las condiciones siguientes:

Y, teniendo en cuenta que el beneficio es un 30% del precio de compra, la función beneficio que queremos optimizar es:

F (x, y) = 0,3 · 300 x + 0,3 · 500 y = 90 x + 150 y

Utilizamos una tabla de valores para representar gráficamente las rectas que deducimos de las condiciones anteriores:

300 x + 500 y = 7000   

            

x + y = 20

x = 0 es el eje de ordenadas

y = 0 es el eje de abscisas

Representando gráficamente las cuatro rectas, se deduce que la región factible es la coloreada de verde y los vértices son los que se muestran en la figura:

Las coordenadas de A se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x = 0, y = 0.

Las coordenadas de B se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  300 x + 500 y = 7000, x = 0.

Las coordenadas de C se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  300 x + 500 y = 7000, x + y = 20.

Las coordenadas de D se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas  x + y = 20, y = 0.

 Las coordenadas de los cuatro vértices son, por tanto:

A (0,0)     B (0, 14)     C (15, 5)     D (20, 0)

Sustituyendo estos puntos en la función beneficio, obtenemos lo siguiente:

F (A) = 0

F (B) = 150 · 14 = 2100

F (C) = 90 · 15 + 150 · 5 = 2100

F (D) = 90 · 20 = 1800

Como se obtiene el máximo en B y en C, significa que se alcanza el máximo en todos los puntos del segmento BC. Teniendo en cuenta que el número de ordenadores ha de ser natural, los puntos (x, y) en los que se alcanza el máximo en este problema deben cumplir, por tanto, las condiciones siguientes:

1ª. (x, y) ha de pertenecer a la recta de ecuación 300 x + 500 y = 7000, que es equivalente a la ecuación 3 x + 5 y = 70.

2ª. x ≤ 15, y ≤ 14 por pertenecer al segmento BC.

3ª. x e y han de ser números naturales.

Despejando de la ecuación 3 x + 5 y = 70, obtenemos que:

Por tanto, 70 – 3 x ha de ser múltiplo de 5 y sabemos que x ha de ser menor o igual que 15. 

De esta forma, los posibles valores de x son 0, 5, 10 y 15. Y en este caso, los correspondientes valores de y son 14,11, 8 y 5, respectivamente. Es decir:

 (0, 14) = B, (5, 11), (10, 8) y (15, 5) = C

Además, podemos comprobar que:

F (5, 11) = 90 · 5 + 150 · 11 = 450 + 1650 = 2100

F (10, 8) = 90 · 10 + 150 · 8 = 900 + 1200 = 2100

Deducimos que se obtiene el máximo beneficio con cuatro opciones de compra:

14 ordenadores del tipo B.

15 ordenadores del tipo A y 5 del tipo B.

5 ordenadores del tipo A y 11 del tipo B.

10 ordenadores del tipo A y 8 del tipo B.

Y en todas estas opciones se consigue el máximo beneficio, que es de 2100 euros.