Ejercicio 8.

Encuentra una matriz cuadrada de orden 2 tal que A² = - I.

Solución:

Suponemos que:

Debe cumplirse la condición siguiente:

Multiplicamos las dos matrices:

Igualando término a término, obtenemos las ecuaciones siguientes:

a² + b c = - 1

c b + d² = - 1

a b + b d = 0, o equivalentemente, b · (a + d ) = 0

c a + d c = 0, o equivalentemente, c · (a + d) = 0

Si b · (a + d) = 0, entonces b = 0 ó a + d = 0, pero b no puede ser cero pues entonces se cumpliría que a² = - 1 y d ² = - 1, lo que no es posible.

Si c · (a + d) = 0, entonces c = 0 ó a + d = 0, pero c no puede ser cero pues entonces también se cumpliría que a² = - 1 y d ² = - 1.

Luego ha de ser a + d = 0, es decir d = - a. Así, el problema se reduce a encontrar cuatro valores a, b, c y d, que cumplan las dos condiciones siguientes:

d = - a

a ² + b c = - 1

Así, por ejemplo, si consideramos a = 1, b = 2, c = - 1 y d = - 1, que cumplen las dos condiciones mencionadas, se obtiene:

Y, en efecto, se cumple que: