Problema 8.5.

En un cuadrado (1) de lado a cualquiera, formamos otro cuadrado (2) uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Repetimos el proceso en el nuevo cuadrado obteniendo el cuadrado 3 y, así sucesivamente. El resultado se ve en la figura siguiente:

Demuestra que, si llamamos S₁ a la superficie del cuadrado 1, S₂ a la del cuadrado 2, y así sucesivamente, la sucesión S₁, S₂, S₃,… es una progresión geométrica.

Solución:

Si consideramos solamente los cuadrados 1 y 2, tenemos la figura siguiente:

El área del cuadrado 1 es S₁ = a².

Además, la diagonal del cuadrado 2 mide lo mismo que el lado del cuadrado 1, por lo que, si llamamos x al lado del cuadrado 2 y aplicamos el teorema de Pitágoras, se cumple que:

Pero x² es precisamente S₂ y, de esta forma, queda demostrado que:

S₂ = (1/2)·S₁.

El proceso sería análogo si se repitiera con el cuadrado 2 y el 3, con el 3 y el 4, y así sucesivamente. Luego, se cumple que:

S_n = (1/2)·S_n-1

De esta forma, se ha probado que S₁, S₂, S₃,… Sn, es una progresión geométrica de razón 1/2.