Problema 10.6.

Marcos y Carlos están ordenando sus colecciones de discos de vinilo.

La colección de Marcos tiene un número de discos muy cercano a cien, y la de Carlos tiene 10 discos más que la de su amigo.

Carlos observa que si Marcos le regalase uno de sus discos, el número de discos que le quedarían a Marcos sería múltiplo de 8, pero que si él le regalase uno a Marcos, la colección de su amigo tendría un número de discos múltiplo de 7.

¿Cuántos discos forman la colección de Marcos y la de Carlos?

Solución:

Si llamamos x al número de discos que forman la colección de Marcos, resulta que x - 1 es múltiplo de 8 y x + 1 es múltiplo de 7.

Los múltiplos de 8 más cercanos a 100 son 96 y 104.

Si x - 1 = 96, entonces x + 1 = 98, que es múltiplo de 7.

Si x - 1 = 104, entonces x + 1 = 106, que no es múltiplo de 7.

Así, la opción posible es que x - 1 sea 96, de donde se deduce que el número de discos que tiene Marcos es x = 97.

Y, como consecuencia, la de Carlos tiene 107 discos.

Problema 10.5.

Para montar una coreografía, hay que organizar en pequeños equipos a los bailarines de una compañía.

 El número de bailarines está comprendido entre 100 y 120. Si se les agrupa de 5 en 5, sobran dos; si se les agrupa de 2 en 2, sobra uno; pero si se les agrupa de 3 en 3 no sobra ninguno.

¿Cuántos bailarines forman dicha compañía?

Solución:

El número de bailarines, ya que está comprendido entre 100 y 120, ha de tener tres cifras y la primera es el 1.

Un múltiplo de 5 acaba en 5 o 0, y como si se agrupan de cinco en cinco sobran dos, se deduce que el número ha de terminar en 7 o 2.

Pero, si terminase en 2, sería par y al agrupar los participantes de 2 en 2 no sobraría ninguno. Por tanto, el número debe terminar en 7.

Ya tenemos que ha de ser de la forma  1a7.

Como debe ser múltiplo de 3, sus cifras han de sumar un múltiplo de 3. Para que eso ocurra, a debe valer 1 (pues 1 + 1 + 7 = 9), 4 (ya que 1 + 4 + 7 = 12) o 7 (pues 1  + 7 + 7 = 15).

Pero sólo en el primero de estos casos el número está comprendido entre 100 y 120. Luego a = 1.

Así, son 117 los bailarines que forman dicha compañía.

Problema 10.4.

Laura organiza una fiesta para celebrar el cumpleaños de su hijo. Se dirige a una confitería y compra pasteles, bizcochos y tartas. El precio de un pastel es 2 €, el de un bizcocho 8 € y el de una tarta 24 €.

Si se ha gastado 200 € y ha comprado en total 40 piezas, ¿cuántos pasteles, bizcochos y tartas ha adquirido?

Solución:

Sean a, b y c los pasteles, bizcochos y tartas, respectivamente.

Sabemos que a + b + c = 40.

Teniendo en cuenta que ha gastado 200 €, también podemos asegurar que:

2 a + 8 b + 24 c = 200

Así, tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

a + b + c = 40

2 a + 8 b + 24 c = 200

Multiplicamos por - 2 la primera ecuación:

- 2 a - 2 b - 2 c = - 80

2 a + 8 b + 24 c = 200

 Sumamos las dos ecuaciones:

6 b + 22 c = 120

Despejamos b:

Como b y c son números naturales, 60 – 11 c debe ser múltiplo de 3 y, como 60 es múltiplo de 3, también debe serlo 11 c. Pero esto solo ocurre cuando c es 3.

Y en ese caso, sustituyendo en la expresión anterior de b, se deduce que b es 9.

Así, ya sabemos que c = 3 y b = 9.

Como el total de piezas es 40, concluimos que a = 28.

Por tanto, ha comprado 28 pasteles, 9 bizcochos y 3 tartas.

Problema 10.3.

Con seis dígitos comprendidos entre el 1 y el 9 se ha formado un número de seis cifras “abcdef”  que cumple las condiciones siguientes:

- Todas sus cifras son distintas.

- La suma de sus tres primeras cifras es 12.

- La suma de sus tres últimas cifras es 15.

- El número “ab” es múltiplo de 2, el “bc” es múltiplo de 3, el “cd” es múltiplo de 4, el “de” es múltiplo de 5 y el “ef” es múltiplo de 6.

¿De qué número se trata?

Solución:

Por ser múltiplo de 5, de debe terminar en 0 o en 5; pero como las cifras están entre 1 y 9, se tiene que e = 5.

Entonces, 5f es múltiplo de 6 y, como el único múltiplo de 6 de dos cifras que empieza por 5 es 54, se deduce que f = 4.

Como la suma de las tres últimas cifras ha de ser igual a 15, resulta que d = 6.

Ya sabemos que el número es abc654.

Teniendo en cuenta que c6 es múltiplo de 4, se distinguen dos posibilidades: c = 1 o c = 3.

- Si c = 1, como b1 es divisible por 3, necesariamente ha de cumplirse que b = 2. Y como la suma de las tres primeras cifras es 12, se deduce que a = 9. En este caso, ya tendríamos el número completo, que es el 921654.

- Si c = 3, como b3 es múltiplo de 3, resulta que b3 = 33 o b3 = 63 o b3 = 93. Los dos primeros casos no son posibles ya que no pueden repetirse cifras y, por tanto, debería ser b = 9. Pero como la suma de las tres primeras cifras ha de ser igual a 12, debería cumplirse que a = 0, lo cual tampoco es posible.

Por tanto, el único número que cumple todas las condiciones dadas es el 921654.