Piensa y resuelve 16.

Cuando Jesús va a salir de casa para ir al colegio mira su reloj y se da cuenta de que si va andando, con su velocidad habitual de 4 Km/h, llegaría cinco minutos tarde. Entonces decide coger su patinete, con el que lleva una velocidad de 10 Km/h, y así llega al colegio trece minutos antes de la hora de entrada.

¿A qué distancia está el colegio de su casa?

Solución Piensa y resuelve 15.

Lucía guarda en su hucha monedas de un euro.

Al contarlas observa que, si sacara una moneda de la hucha, la cantidad de dinero que le quedaría dentro es un múltiplo de 8. Pero, si en lugar de sacar una moneda, metiera una nueva moneda en ella, la cantidad de dinero que tendría sería un múltiplo de 7.

¿Cuál es la cantidad de dinero de la hucha sabiendo que es cercana a 150 euros?

Solución:

Si x es la cantidad de dinero de la hucha, x – 1 es múltiplo de 8 y x + 1 es múltiplo de 7.

x – 1 = múltiplo de 8  ⟹ x – 1 + 16 = múltiplo de 8  ⟹ x + 15 = múltiplo de 8 

x + 1 = múltiplo de 7  ⟹ x + 1 + 14 = múltiplo de 7  ⟹ x + 15 = múltiplo de 7

Por tanto, x + 15 es múltiplo de 7 · 8 = 56.

Los primeros múltiplos de 56 son 56, 112, 168, 224,…

Como la cantidad de dinero es cercana a 150 euros, debe ser x + 15 = 168.

Es decir, que el dinero de la hucha es x = 153 euros.  

Piensa y resuelve 15.

Lucía guarda en su hucha monedas de un euro.

Al contarlas observa que, si sacara una moneda de la hucha, la cantidad de dinero que le quedaría dentro es un múltiplo de 8. Pero, si en lugar de sacar una moneda, metiera una nueva moneda en ella, la cantidad de dinero que tendría sería un múltiplo de 7.

¿Cuál es la cantidad de dinero de la hucha sabiendo que es cercana a 150 euros?

Problema 11.4.

María, Carlos, Lola y Álvaro están colocados en fila india, pero no sabemos en qué orden.

El primero de la fila dice 5, el segundo dice 10, el tercero dice 15, el cuarto dice 20, el primero sigue diciendo 25 y así, sucesivamente, siguen contando de cinco en cinco.

María ha dicho 115; Álvaro ha dicho 85 y Lola ha dicho 170.

¿En qué orden están colocados en la fila?

Solución:

Si se divide 115 entre 5, se obtiene 23, Esto indica que si hubiesen contado de uno en uno, en lugar de contar de cinco en cinco, María habría dicho 23.

Como son cuatro los amigos en la fila, si dividimos 23 entre 4 obtenemos 5 de cociente y 3 de resto, por lo que María se encuentra en tercera posición.

Si dividimos 85 entre 5, obtenemos 17. Siguiendo el mismo razonamiento anterior, como la división de 17 entre 4 da 4 de cociente y 1 de resto, resulta que Álvaro es el primero de la fila.

Al dividir  170 entre 5, se obtiene 34 y, al dividir 34 entre 4, se tiene 8 de cociente y 2 de resto. Así, Lola ocupa la segunda posición en la fila.

La posición restante estará ocupada por Carlos.

Así, el primero de la fila es Álvaro, la segunda es Lola, la tercera María y el cuarto Carlos.

Problema 11.3.

Alejandro está ordenando las piezas de madera de su juego de arquitectura, que está compuesto por piezas de los colores verde, azul, rojo y amarillo.

Observa que las piezas verdes son 7 / 8 del total formado por todas las piezas restantes.

Además, se da cuenta de que los números de piezas azules, amarillas y rojas son los tres iguales.

¿Cuántas piezas hay de cada color, sabiendo que el juego está formado por un número de piezas comprendido entre 80 y 100?

Solución:

Si llamamos N al número de piezas que componen el juego y V al número de las de color verde, resulta que V será 7 / 8 de N – V. Es decir:

Despejamos V a partir de la igualdad anterior:

8 · V = 7 · N – 7 · V

8 V + 7 V = 7 N

15 V = 7 N

- Como V ha de ser un número entero, resulta que N debe ser múltiplo de 15.

- Pero, además, debe estar comprendido entre 80 y 100.

El único número que cumple ambas condiciones es el 90, que será el número de piezas totales del juego.

Ya podemos calcular el número de piezas verdes:

El número de las restantes será 90 – 42 = 48.

Y como los otros tres colores se encuentran en la misma proporción, se deduce que el número de piezas de cada uno de esos tres colores será 48 / 3 = 16.

Así, el juego está formado por 42 piezas verdes, 16 azules, 16 amarillas y 16 rojas.

Problema 11.2.

En el año 2025, María será una niña tal que su edad en ese momento cumplirá la condición siguiente:

“La edad de María coincidirá con la suma de las cifras del año de su nacimiento”.

¿En qué año nació María?

Solución:

Si en el año 2025 va a ser una niña, está claro que el año de su nacimiento es de la forma 20ab.

Por tanto, su edad en ese momento será 2025 – 20ab. Es decir, que será:

2 · 10 ³ + 0 · 10 ² + 2 · 10 + 5 - 2 · 10 ³ - 0 · 10 ² - a · 10 – b =

= 20 + 5 – 10 a – b = 25 – 10 a – b

Como la suma de las cifras de su año de nacimiento es 2 + 0 + a + b, tenemos la siguiente igualdad:

25 – 10 a – b = 2 + a + b

La simplificamos:

23 = 11 a + 2 b

Y despejamos la incógnita a:

Ya que tanto a como b han de ser números enteros comprendidos entre 0 y 9, para que se cumpla esta igualdad solo es posible que b = 6 y a =1.

Así, el año de nacimiento de María es el 2016.

Problema 11.1.

Calcula la superficie y el perímetro de la figura A, sabiendo que el lado del cuadrado en el que está inscrita mide 10 cm.

Solución:

Si dividimos el cuadrado en cuatro cuadrados iguales, tenemos la figura siguiente:

De esta forma, el cuadrado ha quedado dividido en ocho piezas.

Se observa que la figura de la que queremos calcular el perímetro y la superficie está formada por dos piezas del tipo a y otras dos del tipo b. Además, el cuadrado completo está formado por cuatro piezas del tipo a y otras cuatro del tipo b.

Se deduce, por tanto, que la superficie de la figura A es la mitad de la superficie del cuadrado, cuyo lado es l = 10 cm. Es decir:

Superficie de A = l ² / 2 =  10 ² / 2 = 100 / 2 = 50 cm ²

El arco de circunferencia que aparece en cada pieza del tipo a y en cada pieza del tipo b es un cuarto de una circunferencia de radio 5 cm (la mitad del lado del cuadrado). Así, el perímetro de la figura A, al estar formado por cuatro cuartos de dicha circunferencia, coincide con la longitud de la circunferencia completa. Es decir:

Perímetro de A = 2 · π · r = 2 · π · 5 = 10 π  cm

Solución Piensa y resuelve 14.

Sorprende de nuevo a un amigo tuyo con el siguiente truco numérico.

- Pídele que escriba un número de tres cifras.

- A continuación, sin que él vea lo que escribes, anota en un papel el número que resulta de restar una unidad a su número y añadirle un 1 delante (por ejemplo, si él ha escrito el 346, tu anotas en el papel el 1345). Doblas el papel y le pides que lo guarde.

- Ahora le pides que escriba otro número de tres cifras debajo del primero que escribió.

- Por último, tu escribes el número que se obtiene con los dígitos que resultan al restar a 9 cada uno de los dígitos que forman el último número escrito por él (si ha elegido el 567, tu escribes el 432 ya que 9 – 5 = 4, 9 – 6 = 3 y 9 – 2 = 7).

- Para terminar el truco, le pides que sume los tres números y una vez hecha la suma, le sugieres que abra el papel que había guardado. El resultado de la suma coincidirá con el número que tú habías anotado en el papel.

(Observa como en el ejemplo se cumple que 346 + 567 + 432 = 1345).

¿Por qué siempre funcionará este truco?

Solución:

Supongamos que el primer número de tres cifras elegido por tu amigo es el formado por los dígitos a b c.

Y que el segundo número que elige es el d e  f.

Entonces, tú has elegido el número cuyos tres dígitos son:

(9 – d) (9 – e) (9 – f)

Así, la suma que tu amigo deberá efectuar es la siguiente:

Pero podemos observar que la suma de los dos últimos sumandos da como resultado el número 999:

Por tanto, la suma total es equivalente a sumar 999 al número inicial a b c.

Y sumar 999 es lo mismo que sumar 1000 y restar 1. Es decir, el resultado de la suma será el número que tú habías escrito en el papel, cuyos cuatro dígitos son:

1 a b (c – 1)

Piensa y resuelve 14.

Sorprende de nuevo a un amigo tuyo con el siguiente truco numérico.

- Pídele que escriba un número de tres cifras.

- A continuación, sin que él vea lo que escribes, anota en un papel el número que resulta de restar una unidad a su número y añadirle un 1 delante (por ejemplo, si él ha escrito el 346, tu anotas en el papel el 1345). Doblas el papel y le pides que lo guarde.

- Ahora le pides que escriba otro número de tres cifras debajo del primero que escribió.

- Por último, tu escribes el número que se obtiene con los dígitos que resultan al restar a 9 cada uno de los dígitos que forman el último número escrito por él (si ha elegido el 567, tu escribes el 432 ya que 9 – 5 = 4, 9 – 6 = 3 y 9 – 2 = 7).

- Para terminar el truco, le pides que sume los tres números y una vez hecha la suma, le sugieres que abra el papel que había guardado. El resultado de la suma coincidirá con el número que tú habías anotado en el papel.

(Observa como en el ejemplo se cumple que 346 + 567 + 432 = 1345).

¿Por qué siempre funcionará este truco?

Solución Piensa y resuelve 13.

¿Cuál es la letra siguiente en la sucesión que se muestra a continuación?

Solución:

La letra que sigue es:

Es así ya que la sucesión es la formada por las letras iniciales de los números naturales impares ordenados de menor a mayor (Uno, Tres, Cinco, Siete, Nueve, Once, Trece, Quince,…).

Piensa y resuelve 13.

¿Cuál es la letra siguiente en la sucesión que se muestra a continuación?

Solución Piensa y resuelve 12.

Puedes sorprender a un amigo con tus dotes de adivinación si aplicas el truco matemático siguiente.

Pide a tu amigo que piense un número cualquiera y que efectúe las operaciones que le dices, sin que te deje ver los resultados que obtenga, y le aseguras que tú adivinarás el resultado final.

-Dile que multiplique el número que ha pensado por 6.

-Que sume 30 al resultado obtenido.

-Que divida el nuevo resultado por 2.

-Y el obtenido ahora, que lo divida por 3.

-Por último, pídele que reste al último resultado el número que pensó inicialmente.

Simula que estás calculando mentalmente y comunícale que el resultado que ha obtenido al final es el número 5.

Realmente no habrás tenido que pensar nada pues, sea cual sea el número que tu amigo haya pensado, el resultado siempre será 5.

¿Por qué es así?

Solución:

Sea x el número pensado por tu amigo. Los resultados obtenidos en cada uno de los pasos son los siguientes:

- Al multiplicarlo por 6:      6 x

- Al sumar 30 al resultado anterior:      6 x + 30

- Al dividir el anterior resultado por 2:      3 x + 15

- Y al dividir el anterior por 3:      x + 5

- Cuando al último resultado reste el número que pensó inicialmente:  

(x + 5)  – x = 5

Piensa y resuelve 12.

Puedes sorprender a un amigo con tus dotes de adivinación si aplicas el truco matemático siguiente.

Pide a tu amigo que piense un número cualquiera y que efectúe las operaciones que le dices, sin que te deje ver los resultados que obtenga, y le aseguras que tú adivinarás el resultado final.

- Dile que multiplique el número que ha pensado por 6.

- Que sume 30 al resultado obtenido.

- Que divida el nuevo resultado por 2.

- Y el obtenido ahora, que lo divida por 3.

- Por último, pídele que reste al último resultado el número que pensó inicialmente.

Simula que estás calculando mentalmente y comunícale que el resultado que ha obtenido al final es el número 5.

Realmente no habrás tenido que pensar nada pues, sea cual sea el número que tu amigo haya pensado, el resultado siempre será 5.

¿Por qué es así?

Combinatoria.

Teoría de Combinatoria.

Números combinatorios. Triángulo de Pascal.

Ejercicios resueltos de Combinatoria.

Problemas resueltos de Combinatoria.

Ejercicios resueltos de Combinatoria.

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.

Ejercicio 5.

Ejercicio 6.

Ejercicio 7.

Ejercicio 8.

Números combinatorios. Triángulo de Pascal.

Números combinatorios. Triángulo de Pascal.

Se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n, tales que m > n > 0.

  

Se lee “m sobre n” y se representa de la forma siguiente: 

Algunos de los números combinatorios son especiales por su valor, que podemos deducir mediante la definición:

Utilizando la definición, se tiene:

Aplicando la definición:   

Según la definición:

Si lo desarrollamos, obtenemos:

En efecto, si desarrollamos el número combinatorio tenemos que:

Propiedades de los números combinatorios.

  

Propiedad 1.

Aplicamos la definición para demostrarla:

Propiedad 2.

Para su demostración aplicamos la definición:

Triángulo de Pascal o de Tartaglia.

Es el triángulo formado por los números combinatorios, cuyas primeras filas vemos a continuación:

Tenemos en cuenta que:

Esto significa que todas las filas del triángulo empiezan y acaban en 1.

  

Tenemos en cuenta que:

Esto indica que todas las filas son simétricas.

  

Tenemos en cuenta que:

Esto supone que cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.

  

Así, el triángulo, formado por números enteros es el siguiente: