sábado, 30 de abril de 2016

Área y volumen de un cubo.


Halla el área y el volumen de un cubo en el que la diagonal de cada una de sus caras mide 50 cm.

Solución:


Para calcular el área y el volumen del cubo, necesitamos saber la longitud de su arista. Para conseguirlo, utilizamos el teorema de Pitágoras:


a 2 + a 2 = 50 2


Así, la longitud de la arista es:


Ahora estamos en disposición de calcular el área y el volumen del cubo:



Área y volumen de un cono.


Halla el área y el volumen de un cono de 20 m de generatriz y cuya base mide 24 m de diámetro.

Solución:


Calculamos en primer lugar la altura del cono utilizando el teorema de Pitágoras:



Ahora podemos calcular el área  y  el volumen del cono:





Área y volumen de una semiesfera.


Calcula el área y el volumen de una semiesfera maciza, de madera,de radio 6 m.

Solución:


Si consideramos la esfera completa de radio 6 m, su área y su volumen son:



El volumen de la semiesfera es la mitad del volumen de la esfera. Es decir:

Volumen semiesfera = 288 π / 2 = 144 π   m3

El área de la semiesfera está formada por la mitad del área de la esfera completa más el área del círculo de radio 6 m. Es decir:

Área semiesfera = (144 π / 2) + π · 62 = 72 π + 36 π = 108 π  m2

Solución Piensa y resuelve 8.


Ernesto y Conrado mantienen la siguiente conversación:

Ernesto: “¿Porqué no me das uno de tus bolígrafos y así tendremos igual cantidad?”.

Conrado: “Mejor dame uno de los tuyos y así yo tendré el doble de bolígrafos que tú”.

¿Cuántos bolígrafos tenia cada uno?

Solución:

Llamamos x = nº de bolígrafos de Ernesto, y = nº de bolígrafos de Conrado.

Según lo que dice Ernesto, se deduce la siguiente ecuación:

x + 1 = y – 1

Según la respuesta de Conrado, se deduce la siguiente:

(x- 1) · 2 = y + 1

Despejando en la primera, obtenemos:

x = y – 2

Sustituyendo en la segunda esta expresión, se tiene que:

(y – 2 – 1 )· 2 = y + 1

2 y – 6 = y + 1

y = 7

Y entonces, x = y – 2 = 5.


Por tanto, Ernesto tiene 5 bolígrafos y Conrado 7.

Área y volumen de un prisma hexagonal.


Calcula el área y el volumen de un prisma recto de 30 cm de altura, y cuya base es un hexágono regular de 60 cm de perímetro.

Solución:


En primer lugar, vamos a calcular el área de una de las bases. Para ello, utilizaremos la fórmula del área de un polígono regular:


Necesitamos  conocer la longitud de su apotema y, para ello, descomponemos el hexágono en seis triángulos iguales:


Por tratarse de un hexágono regular, cada uno de los seis triángulos es equilátero y sus lados medirán 10 cm, ya que el perímetro del hexágono es de 60 cm. Y, además, la apotema del hexágono coincide con la altura de cualquiera de los triángulos.

Calculemos dicha apotema:


Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos:


Así, el área de la base del prisma es:


El área lateral del prisma es la de un rectángulo de 30 cm de altura y cuya base coincide con el perímetro del hexágono. Por tanto:


Como conclusión, el área del prisma es:



El volumen del prisma se calcula multiplicando el área de una de sus bases por la altura del prisma:



Área y volumen de un cilindro.


Calcula el área y el volumen de un cilindro de 20 dm de altura, sabiendo que el diámetro de su base mide 30 cm.

Solución:

El área del cilindro será la formada por la de las dos bases y el área lateral.


Cada base es un círculo de 30 cm de diámetro, es decir, con un radio de 15 cm. Y el área de cada uno de esos círculos es:


El área lateral es la de un rectángulo cuya altura es de 20 dm (200 cm) y cuya base coincide con la longitud de la circunferencia de la base del cilindro.

Así, la base del rectángulo mide:


Y el área del rectángulo es:


Como conclusión, el área del cilindro es:




El volumen del cilindro lo calculamos multiplicando el área de una base por la altura del cilindro, es decir:



Problema 9.2.


Un agricultor dispone de una balsa de riego en su finca para almacenar agua. Dicha balsa tiene una capacidad de 96000 litros y tiene tres tuberías. La primera tubería, que es de llenado, tarda 10 horas en llenar la balsa ella sola. La segunda tubería, también de llenado, tarda 6 horas en llenarla. La tercera, que es de vaciado, tarda 4 horas en  dejar la balsa completamente vacía

Si la balsa está vacía y se abren a la vez las tres tuberías, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?

Solución:

La cantidad de agua que entra en la balsa por la primera tubería es:

96000 litros / 10 horas = 9600 litros / hora

La cantidad de agua que entra por la segunda tubería es:

96000 litros / 6 horas = 16000 litros / hora

La cantidad de agua que sale por la tercera tubería es:

96000 litros / 4 horas = 24000 litros / hora

Al abrir a la vez las tres tuberías, resulta que en una hora entran a la balsa (9600 + 16000) litros y salen de ella 24000 litros. Es decir, que en una hora se acumulan en la balsa:

9600 + 16000 – 24000 = 1600 litros

Como la capacidad total de la balsa es de 96000 litros, para llenarse completamente el tiempo necesario es:

96000 / 1600 = 60 horas

viernes, 29 de abril de 2016

Problema 9.1.


El abuelo Enrique va a repartir 1540 euros entre sus tres nietas, de forma proporcional a las edades de estas. Entre las tres suman 35 años. A la hora del reparto, por cada 4 € que coge África, Adriana coge 3 €; y por cada 6 € que coge África, Cristina coge 7 €.

a) ¿Cuál es la edad de cada una de las nietas de Enrique?

b) ¿Cuánto dinero corresponderá a cada una de ellas?

Solución:

a) Teniendo en cuenta las condiciones del reparto, si llamamos x a la edad de África, se deduce lo siguiente:

edad de Adriana = (3/4) x (ya que por cada 4 € que coge África, Adriana coge 3 €)

edad de Cristina = (7/6) x (ya que por cada 6 € que coge África, Cristina coge 7 €)


Como entre las tres suman 35 años, resulta la ecuación siguiente:


Resolvemos la ecuación:


35 x = 420

x = 420 / 35 = 12

De esta forma:

(3/4) x = 36 / 4 = 9

(7/6) x = 84 / 6 = 14

Es decir, África tiene 12 años, Adriana tiene 9 y Cristina 14.

b) Como el reparto del dinero es proporcional a sus edades, se deduce la siguiente ecuación:

12 k + 9 k + 14 k = 1540

35 k = 1540

K = 1540 / 35 = 44

Y entonces:

12 k = 12 · 44 = 528

9 k = 9 · 44 = 396

14 k = 14 · 44 = 616

Como conclusión, África recibe 528 €, Adriana 396 € y Cristina 616 €.

Piensa y resuelve 8.


Ernesto y Conrado mantienen la siguiente conversación:

Ernesto: “¿Porqué no me das uno de tus bolígrafos y así tendremos igual cantidad?”.

Conrado: “Mejor dame uno de los tuyos y así yo tendré el doble de bolígrafos que tú”.


¿Cuántos bolígrafos tenia cada uno?

Solución Piensa y resuelve 7.


Observa la secuencia numérica 02468642024686420….

Si esta secuencia se prolonga de forma indefinida, ¿qué número encontraremos en la posición 500?

Solución:

En realidad, la secuencia es la repetición infinita de la cadena 02468642, formada por 8 dígitos.


Si dividimos 500 entre 8 obtenemos 62 de cociente y 4 de resto. Luego para llegar a la posición 500 se repite la cadena 62 veces y se añaden 4 dígitos más. Como el cuarto número de dicha cadena es el 6, se deduce que en la posición 500 encontraremos un 6.

jueves, 28 de abril de 2016

Piensa y resuelve 7.


Observa la secuencia numérica 02468642024686420….


Si esta secuencia se prolonga de forma indefinida, ¿qué número encontraremos en la posición 500?

Solución Piensa y resuelve 6.


David y Carlos están tomando unas cervezas con su amigo Jesús, que también es amigo de la mujer de David. De los tres, solo uno de ellos está soltero y solo uno de ellos tiene el pelo rizado. Dos tienen los ojos verdes pero el del pelo rizado los tiene negros. Además, el soltero tiene el mismo color de ojos que Jesús. 

¿Quién es el del pelo rizado?

Solución:

Sabemos que David está casado pues se menciona a su mujer en el problema.

Como el soltero tiene el mismo color de ojos que Jesús, deducimos que Jesús los tiene verdes y que está casado, y también sabemos ya que el soltero es Carlos.


Entonces, el del pelo rizado, que tiene los ojos negros,  también está casado y, por tanto, se trata de David.

miércoles, 27 de abril de 2016

Estrella Cervantes y sus planetas.

Estrella Cervantes.

“En el cuarto centenario de la muerte de Miguel de Cervantes, nada mejor que rendir un pequeño homenaje a tan ilustre escritor, desde cualquier rincón y desde cualquier disciplina”.

En los últimos treinta años, gracias a los avances tecnológicos, estamos cambiando nuestra visión del Universo con continuas confirmaciones de la  existencia de exoplanetas (que son aquellos que se encuentran fuera de nuestro Sistema Solar).

Estos exoplanetas también describen sus órbitas alrededor de estrellas, más o menos cercanas a nuestro Sol, que no es más que otra estrella.

Entre esos descubrimientos se encuentra la estrella HD 160691 o µ Ara y los cuatro planetas, conocidos hasta ahora, que la orbitan.

Esta estrella recibe el nombre de μ Ara por ser la duodécima estrella más brillante de la constelación del Altar, siguiendo la nomenclatura establecida por el astrónomo alemán Johann Bayer en su Uranometría de 1603, que fue uno de los primeros catálogos sistemáticos de la edad moderna.

Pero también se le conoce como  la estrella HD 160691 por tener el número 160691 en el catálogo de Henry Draper (un compendio de casi cuatrocientas mil estrellas, publicado a finales del segundo decenio del siglo XX).


Sin embargo, estos nombres no son fáciles de recordar para los que no somos expertos en la materia y, al igual que muchas estrellas y planetas han sido bautizados con nombres mitológicos, a ésta la recordaremos con el nombre de Estrella Cervantes.


Se trata de una estrella distante de nosotros unos 50 años-luz y que no es demasiado diferente de nuestro Sol, aunque se trata de una estrella algo más grande: un 10% más masiva que el Sol, casi el doble de luminosa (un 90% más) y 2,5 veces el volumen del Sol. Se estima que tiene una edad de 6.340 millones de años (nuestro Sol tiene unos 5000).

Los planetas que giran alrededor de esta estrella han recibido el nombre de los personajes más famosos de la principal obra de Cervantes.


Planeta Quijote.

El planeta Quijote gira alrededor de la estrella Cervantes, describiendo una órbita elíptica y tan excéntrica que plasma el carácter oscilante entre la razón y la sinrazón del hidalgo manchego.

Se anunció su descubrimiento en 2001 y, en principio, se le denominó planeta μ Ara b.

Es un planeta de gran tamaño (mayor que Júpiter) y el periodo de su órbita alrededor de Cervantes es de 637 días.


Planeta Dulcinea.

En el año 2004 se anunció el descubrimiento de este planeta, conocido inicialmente como planeta μ Ara c.

Situado a unos once millones de kilómetros de la estrella Cervantes, tarda en darle una vuelta 9,64 días.

Su masa es aproximadamente diez veces la de la Tierra, es algo mayor que Neptuno y está tan cerca de su estrella que su temperatura puede llegar a rondar los 2000 grados Kelvin.

Las observaciones todavía no han permitido saber si se trata de un gigante de hielo o de una supertierra (un planeta con corteza de silicatos a temperatura muy elevada y con muy poca atmósfera).

Su proximidad a Cervantes dificulta que Quijote pueda “verla”. Al igual que en la novela, Dulcinea es un imposible que Quijote apenas intuye.


Planeta Rocinante.

Fue descubierto en 2007 y nombrado en un principio como planeta μ Ara d.

Tarda 310 días en dar una vuelta completa a la estrella Cervantes, describiendo una órbita no muy excéntrica, similar a la de la Tierra en nuestro Sistema Solar y su masa es aproximadamente la mitad que la de Júpiter.

Las órbitas de Rocinante y Quijote sufren ciertas interacciones, lo que indica que en algún momento se pueda desestabilizar la de Rocinante, provocándose su destrucción.

Como todo buen rocín que se tercie, se mantiene cercano a su caballero andante, Quijote.


Planeta Sancho.

Fue intuido en observaciones de astrofísicos en el año 2002, pero su descubrimiento no se concretó hasta años más tarde. Al principio se le asignó el nombre de planeta μ Ara e.

Es el planeta más grande de los cuatro que orbitan a la estrella Cervantes y tarda más de once años en completar una vuelta alrededor de la estrella.

Con un caminar más pausado y una órbita con menor excentricidad,  recuerda el carácter sereno y realista del bueno de Sancho en la novela de Miguel de Cervantes.